ข้อสอบ TMO ครั้งที่ 1 ณ จังหวัดขอนแก่น

[gon]

ข้อสอบเยอรมันโอลิมปิก(DeMO) ที่เป็นภาษาอังกฤษ เมื่อก่อนเคยมีที่เว็บ 20,000 problem under the sea ครับ. (ถ้าจำไม่ผิด) แต่ปัจจุบันเว็บนั้นล่มหายไปเฉย ๆ แล้ว. ตอนนี้ที่เจอก็เป็นแต่ภาษาเยอรมันล้วน ๆ ตามสไตล์ชาตินิยมกระมัง จึงไม่ค่อยจะสนใจผลิตฉบับภาษาอังกฤษ. ส่วนของรัสเซีย (Ussr) เข้าใจว่าเลิกสอบไปนานแล้ว (ถ้าผิดพลาดขออภัย) ก็ยังหาได้อยู่ลอง search ดูดี ๆ ครับ. เอ้อ.ของ Flander ใช่ของเยอรมันหรือเปล่าครับ. ถ้าใช่ล่ะก็ Version ภาษาอังกฤษมี

ขอบคุณมากๆๆๆครับท่าน gon แล้วพอจะทราบเว็บที่มีการแข่งขันที่เป็น League คณิตศาสตร์ที่มีข้อสอบเด็ดๆไหมครับ ถ้าทราบหรือมีเว็บเด็ดๆอะไร แนะนำผมด้วยนะครับ ขอขอบคุณล่วงหน้าอีกครั้งหนึ่งครับ

[gon]

โจทย์เด็ด ๆ ผมก็ไม่รู้ว่าแบบไหนที่ท่านชอบนะครับ. โจทย์ที่ผมชอบคือโจทย์ที่อ่านแล้วให้ความรู้สึกอยากทำ และ สามารถ Solve ได้โดยใช้ความฉลาดล้วน ๆ คือ แก้แบบพื้น ๆ ได้ แต่ใช้มุมมองที่ฉลาด

ถ้าเป็น League ที่ผมเคยเห็นมาก็เป็นพวกแข่งขันภายในรัฐ Tournament of Town ถ้าจำไม่ผิด ก็มีรัฐ Toronto ที่ http://www.math.toronto.edu/oz/turgor/archives.php , Corolado (ลองหาดูครับ) โจทย์ประเภท Talent Search ก็เยี่ยมครับ. มีอยู่ Link หนึ่งในหน้าแรก

ส่วนเว็บที่มีปัญหาเยอะที่สุดในโลก คงเป็นเจ้าเก่าของ John Scole : คือที่ http://www.kalva.demon.co.uk/ แต่ข้อเสียคือชอบแปลงโจทย์ (แต่ความหมายเหมือนเดิม เพราะกลัวเรื่องลิขสิทธิ์)

[Heatman]

ยากมากเลยคับ

[gon]

ไม่มีอะไรมาก แค่มาเติมเล่น ๆ กันลืมครับ. ข้อที่ 3 วันที่ 2

ให้ S(m,n) แทนจำนวนแบบของการเรียงสับเปลี่ยนของนักเรียน m คน เมื่อ n = จำนวนครั้งของการสลับ จะได้ว่า n = 0, 1, 2, ... , m(m -1)/2 (^mC₂)

และ
S(m, 0) = 1, m ณ 1
S(m, 1) = m - 1 ; m ณ 2
S(m, 2) = (m + 1)(m - 2)/2 ; m ณ 3
S(m, 3) = [ (m - 1)(m - 2)(m + 3)/6 ] - 1 ; m ณ 3
และ S(m, n) = S(m , n - m(m - 1)/2)
และ โดยทั่วไป S(m, n) = S(m - 1, n) + S(m, n - 1) เมื่อ n ฃ m - 1

ทำไม : S(m, n) = S(m - 1, n) + S(m, n - 1)
รูปแบบของการจัดคน m เพื่อให้เกิดการสลับจำนวน n ครั้ง เมื่อ 0 ฃ n ฃ m(m-1)/2 สมมติให้คนทั้ง m คน แทนด้วย จำนวน 1, 2, 3, ... , m ดังนั้นคนที่สูงที่สุด คือ m จำนวนแบบของการสลับทั้งหมด S(m,n ) แบบ จะสามารถแบ่งออกเป็น 2 กรณีคือ
กรณีที่ 1: คนที่สูงที่สุด คือ m ยืนอยู่หลังสุด
กรณีที่ 2 : คนที่สูงที่สุด คือ m ยืนอยู่ตำแหน่งอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ตำแหน่งหลังสุด

กรณีที่ 1 : นำคนจำนวน m - 1 คน มายืนในแบบต่าง ๆ เพื่อให้เกิดการสลับทั้งหมด n ครั้ง ซึ่งจะมี S(m - 1, n) แบบ จากนั้นนำคนที่สูงที่สุด ไปยืนข้างหลังสุด จะได้ว่าจำนวนครั้งของการสลับจะไม่เพิ่มขึ้น อีกทั้งจำนวนแบบก็จะเท่าเดิม คือ S(m - 1, n)

กรณีที่ 2 : นำคนจำนวน m คน (รวมนาย m ด้วย) มายืนเพื่อให้เกิดการสลับจำนวน n - 1 ครั้ง โดยให้นาย m ซึ่งสูงที่สุด ยืนอยู่ตรงไหนก็ได้ตั้งแต่ตำแหน่งที่ 2 ถึง ตำแหน่งหลังสุด ซึ่งตอนนี้จะยืนได้ S(m, n - 1) แบบ จากนั้นในแต่ละแบบ ให้สลับ นาย m กับคนที่ยืนอยู่ข้างหน้าเขา ก็จะได้ว่า จำนวนการสลับของคนทั้งหมดจะเพิ่มจากเดิม คือ n - 1 ครั้ง ไปเป็น n - 1 + 1 = n ครั้ง ซึ่งจะมีอยู่ S(m, n - 1) แบบ
นั่นคือ S(m, n) = S(m - 1, n) + S(m, n - 1)

เช่น S(18, 150) = S(18, 153 - 150) = S(18, 3) = (18 - 1)(18 - 2)(18 + 3)/6 - 1 = 952 - 1 = 951

วันที่สอง ข้อ 6 ครับ
ให้ A = Arithemetic mean of a,b,c
H = Harmonic mean of a,b,c
R = R.M.S of a,b,c
เราจะได้ว่า
HฃAฃR
จากเงื่อนไขเราจะได้ว่า Hณ1
ดังนั้น Rณ1 ---> a²+b²+c²ณ3
โดย Chebychev's inequality จะได้ว่า
a³+b³+c³ ณ 1/3(a²+b²+c²)(a+b+c)ณ a+b+c

ง่ะ...พิมพ์ยากจังหวังว่าคงจะอ่านกันรู้เรื่องนะครับ

[gon]

เรา Set ไว้ครับว่า. ถ้าไม่ได้สมัครเป็นสมาชิกบอร์ด ก็สามารถตอบได้ (ตั้งไม่ได้) แต่ สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์จะใช้ไม่ได้ครับ. (เลขยกกำลังไม่ใช่สัญลักษณ์คณิตศาสตร์) ประมาณว่าถ้าใช้บอร์ดบ่อยหน่อย ก็สมัครสมาชิกเสียหน่อยอะไรทำนองนี้ครับ. จะได้การันตีว่าตัวจริง ๆ มาตอบนะ ไม่งั้นอาจจะมีตัวปลอมมาใช้ชื่อเราตอบได้

Noouiii สนใจจะลอง solve ข้อ 1 วันที่ 2 ไหมครับ.(ตรีโกณ) จนบัดนี้พี่ยัง solve ข้อนี้ไม่ออกเลย คาใจจริง ๆ ตอนนั้นลองอยู่หลายวันทีเดียว สมการน่ะตั้งง่าย โดยหลักการต้องแก้ออก แต่ทำไงมันก็แก้ไม่ออก

[nooonuii]

จริงๆผมสมัครสมาชิกไว้ตั้งแต่อยู่เมืองไทยแล้วล่ะครับแต่ลืม password ไปซะแล้ว ตอนนี้ recover ได้แล้วครับ

ข้อที่พี่กรถามมาได้แล้วครับ ข้อ 1 วันที่ 2
ให้ x เป็นคำตอบของสมการ x+1/x=2cos 2A ดังนั้น
x²+1/x² = 2cos 4A = 2/3
เพราะฉะนั้น cos^2 2A = 1/4(x+1/x)²=1/4(x²+1/x²+2)= 2/3
แต่ -p/2ฃ2Aฃp/2 ดังนั้น cos 2A>0
นั่นคือ cos 2A = ึ2/3 และ sin 2A = ึ1/3

เนื่องจาก sin² A+cos²A=1 ดังนั้น
sin⁴A+cos⁴A=1-2sin₂Acos²A=1-1/2(sin 2A)²=5/6
ดังนั้น cos⁸A - sin⁸A = (cos²A - sin²A)(cos²A + sin²A)(cos⁴A + sin⁴A)=(5/6)(ึ2/3)

[nooonuii]

แก้นิดนึงนะครับ sin 2A = ฑึ1/3 ครับ
แต่เราต้องการกำลังสองเลยไม่มีปัญหา แฮ่แฮ่

[nooonuii]

ข้อ 6 วันที่ 2 Another solution
ให้ w_i, i=1,...,6 เป็นรากของ f(x) เราจะได้ว่า
w_i ⁷=1 ทุก i=1,...,6
โดย Division Algorithm จะได้ว่า
f(x⁷)=q(x)f(x)+r(x) เมื่อ deg r(x)<deg f(x)=6....(*)

สมมติว่า r(x) ไม่ใช่พหุนามคงตัว เราจะได้ว่า
r(w_i)=f(1)=7 ทุก i=1,...,6
ดังนั้น p(x)=r(x)-7 มี w_i เป็นราก
นั่นคือ p(x) มีรากทั้งหมด 6 ราก
แต่ deg p(x) = deg r(x) ฃ 5
ซึ่งขัดแย้งกับ Fundamental Theorem of Algebra

ดังนั้น r(x) เป็นพหุนามคงตัว
เพราะฉะนั้นแทน w_i ใน (*) จะได้ว่า
r(x)=r(w₁)=f(1)=7
นั่นคือ f(x⁷) หาร f(x) เหลือเศษ 7

[nooonuii]

ข้อ 19 วันที่ 2 Another solution
โดย Cauchy's inequality จะได้ว่า
a+2b+3c=1ทa+3ท(2b/3)+9ท(c/3) ฃ ึ1²+3²+9² ึa²+4b²/9+c²/9=91/3
โดยสมการเป็นจริงเมื่อมี l>0 ซึ่งทำให้
a=l, 2b/3=3l, c/3=9l
แทนค่าในเงื่อนไขจะได้ l1/3
ดังนั้น (a,b,c)=(1/3,3/2,9) ทำให้ a+2b+3c มีค่าสูงสุดเท่ากับ 91/3

ผมต้องรีบตอบครับ กลัวคนชิงตัดหน้าข้อ 19วันแรก จงหา
max a+2b+3c
ให้ a= x,2b=y,3c=z
ตามที่โจทย์กำหนดให้ 9a^2+4b^2+c^2=91
เขียนเป็น 9x^2+y^2+(1/9)z^2=91
โดย โคชี อินควอลิตีที่กล่าวสมมูลกับอสมการที่ว่า
(sum a^2)(sum b^2) >= (sum ab )^2 หรือ(sum a)(sum b) >= (sum sqrt(ab) )^2 นั่นเอง
ก็จาได้ว่า (9x^2+y^2+(1/9)z^2)(1/9 +1 +9)>=
{sqrt[(9x^2)(1/9)]+sqrt[(y^2)(1)] +sqrt[((1/9)z^2)(9)] }^2
=(x+y+z)^2
แต่(9x^2+y^2+(1/9)z^2)(1/9 +1 +9)=91*91/9
นั่นคือ( 91/3)^2>=(x+y+z)^2
max =91/3 นั่นเอง ส่วนเงื่อนไขการเท่าของสมการเช็คเอาได้ง่ายๆไม่ขอกล่าวนะที่นี้ อืม อ่านรู้เรื่องป่ะครับถ้าไม่รู้เรื่องป๋มก็ขอภัย พิมพ์เอามันยุ่งยากมากเลย อ่ะ น่าจะเขียนแสกน โพสต์กันเนอะ
ก็เห็ฯคนอื่นๆทำเฉลยกัน ก็ไม่อยากน้อยหน้าอ่ะครับ คุณคนไหนที่โพสต์ๆไปก่อนที่เคยเข้าสอวน.แต่ตกสสวท.รอบสองอ่ะครับ เหมือนผมเลย ซวยมากๆๆตอนนี้อยู่ ม.6แล้ว เหมือนเสียโอกาสไปซะหมด ผมอ่ะเศร้ามากเลยอยากจะมาระบาย เพราะ3ปีของผมอ่ะมันมีความโชคร้าย แบบคอมโบอ่ะครับ ปีแรกก็ถือว่าช่วยไม่ได้ตอนผมม.4ได้เข้าไปสอบ สสวท.รอบสอง
ปีนั้นผมไม่พร้อมจริงๆกะระดับโจทย์ปีนั้น อันนี้ไม่ว่ากันผมโง่เอง ปีถัดมาก็เอาสิดสอวน. เข้าไปสอบรอบสองอีก(2546) ปีนี้ผมว่าผมเก่งพอดูนะ แต่ซวยไปเจอข้อสอบธรรมศาตร์ออก คิดดุดิ่ครับ มีที่ไหนฟะข้อสอบโอรอบสองถึกสุดๆ แถมไม่มีโจทย์สวยเลย ผมซึ่งฝึกมาแบบโจทย์ยาก น้อยข้อ
ก็แบบทำไม่ทัน ก็ซวยไประหว่างนี้ผมก็ฝึกทำเรื่อยๆจนทำImoปีเก่าๆได้บ้างแล้วก็กะว่าปีนี้(2547)จะไปร่วมก๊วนกะเพื่อนในค่าย เลขที่เข้าไปก่อนแล้วคนนึง(วุฒิศักดิ์อ่ะครับ ตัวแทนปีนี้) ที่ไหนได้ รอบหนึ่งธรรมศาสตร์ออกอีกแล้ว ดูดิ่ครับ เรขาวิเคราะรวมเมตริกนี่9ข้อน่ะ แล้วก็ต้องคิดเลขเยอะพอควรล่ะครับ จริงๆสำหรับบางคนมันอาจไม่ถึกมาก แต่สำหรับผมซึ่งเกลียดการคำนวนเป็นจิตใจ และยึดติดกับความคิดที่ว่า โจทย์โอต้องวัดที่แนวคิดสั้นๆสวยๆ มันถึกมาก จริงๆแล้วความโชคร้ายมันซ้ำซ้อนกันอีกครับ คือ สอวน.รุ่นที่2ที่ผมเคยเข้าตอน ม.3 มันรับเด็ก ม.5 แต่พอมารุ่นที่4ปีที่แล้ว มันไม่รับ ผมเลยต้องมาเสียเวลาสอบรอบแรก กะไอ้ปีที่ธรรมศาสตร์ออกเพราะไม่ได้สิทธิ์ แล้วก็น่ะครับ สอวน.ปีที่ผ่านมาอีกนี่แลหะ ที่เป็นปีแรกที่ดันให้สิดเด็กสอบ Tmo ซึ่งในสองรุ่นที่ผมได้เข้า มันไม่มี สรุปคือผมชวดทุกงาน แบบลงล็อกตามปีแต่ละปีเลย อืม ถ้าไม่โดนตัดหน้าก่อนและ ถ้าหลายๆท่านอนุยาด ผมขอเข้ามาเฉลยข้ออื่นๆบ้างนะ แต่พิมทีนึงก็ช่างยากเย็นจริงๆ

อ้าวลืมดู ผมโดนตัดหน้าไปแล้วนิ มีคนเฉลยก่อนแล้ว ไม่ได้การหละ
งั้นผมทำข้อ 4. วันที่3 ละกัน ข้อเรขา สี่เหลี่ยมนูน ก็คือ ผมจะแบ่งพื้นที่เป็นสองส่วนนะ คือพท.สามเหลี่ยมABD กะพท.สามเหลี่ยมBCD
พท.ABC =1/2*AB*ADsinA<=1/2*AB*AD
(AB-AD)^2 >= 0
AD^2+AB^2 >= 2AB*AD
(AD^2+AB^2 )/4>= 1/2*AB*AD>=พท.ABC ---1
ทำนองเดียวกัน
(BC^2+CD^2 )/4>= 1/2*BC*CD>=พท.BCD ---2
นำ---1 +---2
(AD^2+AB^2+BC^2+CD^2)/4 >=พท.สี่เหลี่ยมนูนABCD
อันนี้ได้ไปเห็นเฉลยอีกวิธีของทางผู้ออกข้อสอบ พบว่ายุ่งยากมาก คิดว่านี่น่าจะเป็นวิธีทีสั้นที่สุดแล้วมั้งครับ คือสังเกตได้เลยว่า ไม่ได้ใช้สมบัติที่บังคับให้สามเหลี่ยมต้องประกอบกันได้เป็น สี่เหลี่ยมเลย แต่แยกคิดตรงๆเลย จริงๆข้อนี้วุฒศักดิ์ เฉลยให้รุ่นน้องดูก่อนผมจะทำ ก็เลยเห็นมา ส่วนข้อที่ผมทำเอง โดนพวกท่านๆโพสต์เฉลยเสียส่วนใหญ่แล้ว เหลือแต่ข้อพิมยากๆอ่ะคับ

[gon]

อื้ม. มีคนช่วยตอบเยอะดี ยังไม่หมดมั้งนะ. ข้อสี่เหลี่ยมเดี๋ยวขอดูอีกที คิดสั้นได้ดีครับ. ว่าแต่ Noonuiii เข้าใจคำถามพี่ผิดครับ. พี่หมายถึงวันที่ 2 ของการสอบแข่งขัน (วันที่ 3 พ.ค. มันดันใกล้เคียงกันพอดีลืมดูเลย) มีคนได้เห็นเฉลยต้นฉบับคนออกข้อสอบด้วยหรือครับ อย่างข้อที่ 18 วันแรกล่ะ ท่านเฉลยว่ายังไงเมื่อคำตอบมันไม่สวย.