ข้อสอบโอลิมปิก

[gon]

อืม. รูปเยอะ ๆ นี่มันเข้าแต่ละทีหนักหน่วงจริง. ตอนนี้พี่ก็ทำจะหมดแล้วครับ. เหลือไม่กี่ข้อแล้ว คาดว่าอีกวันหรือ 2 วัน คงเสร็จหมด แล้วจะลงเฉพาะคำตอบให้นะครับ.

[gon]

ทำหมดแล้วครับ. แต่ก็อาจจะมีผิดพลาด เพราะคิดเลขผิดหรือคิดผิดอยู่บ้าง ถ้าสงสัยข้อไหน ก็ถามมาแล้วกันครับ.
ตอนที่ 1
1) 3
2) 2
3) 4
4) 1
5) 1
6) 4
7) 3
8) 4
9) 2
10) 3
ตอนที่ 2
1) 1/8ึ3
2) -29/3
3) (ึ4a - 3 - 1)/2
4) ึ5
5) ฑ1/ึ2
6) 14
7) ก. 138 , ข. {3, 5, 7}
8) -4
9) 229
10) -3/2
11) ก. a = -3/2, b = 3/2 ข. m = -1, n = 1
12) 144
13) [ (a² - ab + b²)/3 ]^1/2
14) (y - 1)² = -16/3(x - 5) , (y - 1)² = 16/3(x +5) ,
15) (122)(3³)(5²) = 82,350
16) ฑ2p, ฑ4p
17) (x - 2)² + y² = 36
18) 1/3
19) 19ึ7
20) ก. x = 2, y = 3, z = 1 ข. 3364
21) 16/ึ19
22) 2/3
23) {0, 2, 7, 8}
24) e^-5525
25) ก. [-51/8, -4] ศ [0,19/6] ข. [20, 99/4]

[gools]

ข้อ 22 ของผมได้ 8/3 ครับ

[gon]

ข้อ 22. หรือ อืมขอนึกก่อน ถ้าจำไม่ผิดคำตอบมี 3 ค่าใช่มั้ยครับ. ถ้าคำตอบใช้ได้ทั้ง 3 ค่า ก็จะได้คำตอบสวย ๆ แต่ถ้าพี่จำไม่ผิด มันมีเงื่อนไขที่ต้องทำให้ อนุกรมที่โจทย์ให้มานั้นคอนเวร์อจ กล่าวคือ | x²/4 | < 1 รู้สึกว่าพี่จะตัดคำตอบไปตัวนึงครับ. เพราะมันไม่เข้าเงื่อนไข ดังนั้นถ้าตอนนั้นพี่คิดถูกก็จะต้องตัดไป 1 ตัว แต่ถ้าผิดก็ไม่ตัดแล้ว ผลรวมก็จะออกมาสวย ๆ เดี๋ยวขอพี่ไป Check ในกระดาษทดก่อนนะครับ.

[gon]

ข้อ 22. พี่คิดผิดจริง ๆ ครับลืมตัดเลข. ลองทำใหม่แล้วได้ x = 1, -1/3, 2 แต่ x = 2 ใช้ไม่ได้ ดังนั้น ผลบวกจึงเป็น 2/3

[M@gpie]

ข้อ 3 ผมว่าน่าจะตอบ 4.
ก.ผิด เพราะ
sinp/12 =ึ[1-cos(p/6)]/2
cos(7p/12) = - ึ[1-cos(7p/6)]/2 ( เป็นลบเพราะ 7p/12) อยู่ Q₂ ทำให้ cos ติดลบ)
แก้ไปแก้มา ไม่ตรงกะที่เค้าให้มาอ่ะคับฑ
ข. ผิดเพราะ
arcsin(2/ึ5) + arcsin(3/ึ10)
=arctan 2 +arctan3
=p +arctan[(2+3)/(1-6)]
=p -p/4
=3p/4 น p/4
ใช้เครื่องคิดเลขเช็คดูแล้วคับ พี่ๆลองตรวจด้วย

[gon]

ถูกต้องอย่างที่น้อง M@gpie ว่ามานั่นล่ะครับ. ข้อ arcsine นี่ พี่ผิดอย่างน่าอายทีเดียว ที่จริงใช้ sense ก็มองออกแล้วว่าผิด พี่ทำมาทาง sine ตอนสรุปลืมใช้ sense เป็นข้อเตือนที่ดีทีเดียว. ข้ออื่น ๆ ก็คงมีผิดอีกเต็มล่ะ เจอข้อไหนอีกก็บอก

[gools]

ตอนที่2 ข้อ 6. ผมตอบ 14 ครับ

[gon]

ลองทำอีกที พี่ก็ยังได้ n = 30 ครับ. ลองดูว่าตรงไหนผิด

ข้อที่ 6 : วันที่ 2
จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 2ⁿ ลงตัว คือ 2⁰, 2¹, 2², ... , 2ⁿ
\ P(2ⁿ) = 2^{0 + 1 + 2 + ... + n} = 2^{n(n + 1)/2}
จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 2^{n(n + 1)/2} ลงตัว คือ 2⁰, 2¹, 2³, 2⁶ , ... , 2^{n(n + 1)/2}
\ P(2^{n(n + 1)/2}) = 2^{0 + 1 + 3 + 6 + ... + n(n + 1)/2} = 2^{n(n + 1)(n + 2)/6}

\ 2^{n(n + 1)(n + 2)/6} > 2⁵⁽⁹⁸⁹⁾ ซ n(n + 1)(n + 2) > 30(989) = 29,670
Try : n = 20 , (20)(21)(22) = 9,240 < 29,670
Try : n = 30 , (30)(31)(32) = 29,760 > 29,670 นิดเดียว แสดงว่า n = 30 น้อยที่สุดแน่ ๆ

[gon]

เอ๊ะ. ! เดี๋ยวพี่พอจะเห็นที่ผิดในขั้นที่ 2 แล้ว เดี๋ยวขอลองคิดดูอีกทีก่อน

[gon]

ได้ n = 14 จริง ๆ ด้วย , ขอแก้ไขจาก
จำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่หาร 2^{n(n + 1)/2} ลงตัว คือ 2⁰ , 2¹, 2³, 2⁶ , ... , 2^{n(n + 1)/2} เป็น
2⁰ , 2¹, 2², 2³ , ... , 2^{n(n + 1)/2}
\ P(2^{n(n + 1)/2}) = 2^{0 + 1 + 2 + ... + n(n + 1)/2} = [ n(n + 1)/4 ] [ n(n + 1)/2 + 1 ] จะได้
[ n(n + 1) ]² + 2n(n + 1) > 40(989) นั่นคือ n น้อยที่สุด = 14

ถ้าเจอที่ผิดก็บอกอีกนะครับ. เพราะพี่ก็ไม่ค่อยจะรอบคอบเท่าไรด้วย

[gools]

ข้อ 21 ผมได้ 8/ึ7 ครับ
ดูซิครับว่าผิดตรงไหน
จุดศูนย์กลาง (3,-3)
รัศมี 2
จุดบนแกน y (0,-3-1/ึ3)
ความยาวเส้นสัมผัส 4/ึ3
ความยาวจากจุดบนแกน y ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลม ึ28/3

[gools]

ข้อ 15 ได้ 82,350 ครับ

[gon]

ข้อ 21. นี่ ตอนแรกที่ได้คำตอบออกมา พี่ก็ไม่ค่อยจะเชื่อเท่าไร เพราะมันน่าเกลียดมาก เลยลองตรวจสอบโดยใช้คอมพิวเตอร์ ผลลัพธ์ก็ออกมาเท่ากันเป๊ะเลยครับ. จุดตัดบนแกน y ของพี่รู้สึกจะเป็น (0, 7/ึ3 - 3) ข้อนี้น้องมีแนวคิดอย่างไงครับ. รู้สึกในกระดาษทดของพี่จะเขียนยาวเหมือนกัน ไม่น่าดูเลย

ข้อ 15. เดี๋ยวดูให้อีกทีครับ.

[gools]

ความชันของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางกับจุดสัมผัส = (-3+ึ3-(-3))/(4-3) = ึ3
\ ความชันของเส้นสัมผัส = -1/ึ3
สมการเส้นสัมผัส = x-ึ3y-1-3ึ3
เส้นสัมผัสตัดแกน y ที่ (0,-3-1/ึ3)
ที่เหลือก็หาความยาวเส้นสัมผัสและความยาวจากจุดบนแกน y ไปยังจุดศูนย์กลางของวงกลมแล้วใช้ทฤษฎีบทของพีธากอรัสครับ