โจทย์ของ TAMREF ข้อที่ 3 (เรขาคณิตวิเคราะห์)

[TAMREF]

สมัยที่ผมเรียนอยู่ม.ปลาย รู้สึกว่าโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์ทำไมมันง่ายเหลือเกินก็ไม่รู้ หลายๆ คนคงเคยมีความรู้สึกเหมือนผมมาก่อน คราวนี้ลองมาดูโจทย์เรขาคณิตวิเคราะห์ที่ผมคิดขึ้นมาหน่อย คงพอก่อให้เกิดความสนุกขึ้นมาได้บ้าง รับรองว่าผมไม่ได้ซ่อนความยากไว้ตรง three points circle หรอกน่า


กำหนดให้ A(6,2), B(8,-2), C(3,-7), P(-1,-2), Q(7,-4) เป็นจุดบนระนาบ
O เป็นวงกลมที่ผ่านจุด A,B,C
ถ้า R เป็นจุดที่อยู่บนวงกลม O ซึ่งทำให้มุม PRQ มีขนาดโตที่สุด
จงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม PQR

[gon]

ได้ 24 หรือเปล่าครับ.

คำตอบไม่สวยงามเลย
จึงไม่แสดงวิธีคิดนะครับ

หาก a คือ รากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของ 16 x³ + 8 x² + 61 x - 782 = 0 หรือโดยประมาณ 3.1675720728445858192
b คือ รากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของ 16 x³ + 16 x² - 347 x + 2270 = 0 หรือโดยประมาณ - 6.9971911710882713461
c คือ รากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของ 19 x³ + 694 x² + 2967 x + 3890 = 0 หรือโดยประมาณ - 31.821145530155852696
d คือ รากคำตอบที่เป็นจำนวนจริงของ 16 x³ + 360 x² + 749 x - 165325 = 0 หรือโดยประมาณ 15.821192611508499565

จะได้ R คือ (a,b) , มุม PRQ คือ PI + ArcTan(c) เรเดียน หรือโดยประมาณ 91.8 องศา
และพื้นที่ของสามเหลี่ยม PQR คือ d ตารางหน่วย

สองคำตอบข้างบน ผิดทั้งคู่นะครับ
คำตอบของผมสวยงามมาก

คำตอบสุดท้าย
R คือ ((799 - 27 sqrt(85)) /173 , -4 (109 + 21 sqrt(85)) / 173)
มุม PRQ คือ arccos(-19 / (123 sqrt(5) + 80 sqrt(17))) เรเดียน
พื้นที่ของสามเหลี่ยม PQR คือ 3 (-204 + 121 sqrt(85)) / 173 ตารางหน่วย

ยังผิดอยู่นะครับ
บอกให้ก็ได้ว่าคำตอบเป็น irrational ถ้าทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้วจะไม่มีตัวหาร

นั่นเป็นคำตอบสุดท้าย ถือเป็นอันเสร็จสิ้น ไม่คิดต่อแล้ว เว้นเสียแต่คุณจะแสดงตัวเลขแบบที่ผมแสดงมา ว่ามันให้ค่าที่ดีกว่าจริง แล้วค่อยมาคุยกันต่อ บ๊าย บาย

[Hell]

ผมลองวาดรูปที่ได้ดูแล้ว เป็นเส้นตรงตัดออกจากวงกลม
จากโจทย์ที่บอกว่าเป็นมุมที่โตที่สุด แสดงว่ามันต้องเป็นมุม 180 องศาสิ
ทำไปก็งงไป หรือว่าโจทย์เป็นมุมที่ทำให้เป็นสามเหลี่ยมใหญ่สุดหรือเปล่า

[TOP]

เนื่องจากจุด R ที่ต้องการคือจุดที่มีวงกลมผ่าน PQR (จะใช้คำว่า วงกลมเล็ก แทนวงกลมดังกล่าว) และสัมผัสกับวงกลม ABC
และเนื่องจากจุดสัมผัสมีได้ 2 จุด จุดที่เราต้องการคือจุดซึ่งทำให้วงกลม PQR มีรัศมีน้อยกว่าอีกจุดหนึ่ง

วงกลมที่ผ่าน ABC มึจุดศูนย์กลางที่ O(3,-2) รัศมี 5 (จะใช้คำว่า วงกลมใหญ่ แทนวงกลมดังกล่าว)

สมมติจุดศูนย์กลางวงกลมเล็กคือ (m,n) เราจะพบว่าจุดศุนย์กลางต้องอยู่บนเส้นตรง y = 4x - 15 หรือ จุดศูนย์กลางวงกลมเล็กคือ (m , 4m - 15)
จึงได้รัศมีวงกลมเล็กคือ ึ(m + 1)²+ (4m - 13)² = ึ17m² - 102m + 170

สมการวงกลมเล็กคือ (x - m)²+ (y - 4m + 15)²= 17m² - 102m + 170
x²+ y² - 2mx + (30 - 8m)y + (55 - 18m) = 0
สมการวงกลมใหญ่คือ (x - 3)²+ (y + 2)² = 25
x²+ y² - 6x + 4y - 12 = 0 ---------- (1)
จะได้เส้นตรงที่ผ่านจุดตัดของวงกลมทั้งสองคือ
(2m - 6)x + (8m - 26)y + (18m - 67) = 0

y = -

(2m - 6)x + (18m - 67) 8m - 26

แทนค่าลงใน (1) จะได้
(68m² - 440m + 712)x² - (376m² - 2412m + 3876)x - (1020m² - 6596m + 10591) = 0

จะมีผลเฉลยเดียวเมื่อ
(376m² - 2412m + 3876)² + 4 (68m² - 440m + 712)(1020m² - 6596m + 10591) = 0
26176m⁴ - 337696m³ + 1632948m² - 3507712m + 2824159 = 0
(4m - 13)²(1636m² - 10472m + 16711) = 0
m = {13/4 , (2618 ฑ 15ึ85) / 818}
เนื่องจาก m = 13/4 ใช้ไม่ได้ สำหรับ m สองค่าที่เหลือพบว่า ค่า m ที่น้อยกว่าให้ค่ารัศมีวงกลมที่เล็กกว่า

จึงได้ค่า m ที่ต้องการคือ m = (2618 - 15ึ85) / 818
แทนค่าลงไปจะได้จุด R ที่ต้องการคือ R ( (799 - 27ึ85) / 173 , (-4 / 173)(109 + 21ึ85) )
จึงได้พื้นที่สามเหลี่ยม PQR ที่ต้องการคือ (3 / 173)(-204 + 121ึ85) ตารางหน่วย