ข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ต้น 2550

[nongtum]

ตอนที่ 2 ข้อ 9 หากไม่ใช้ Menelaus ซึ่งอาจงงได้ง่ายๆ ก็ให้ลองลาก EG ขนานกับ AD โดยที่ G อยู่บน DB สิครับ

[sornchai]

ข้อ 5 ตอนที่ 2 ของ ม.ต้น ช่วยแนะแนวคิดได้เปล่าครับ ผมมือแปดด้านเลยสำหรับข้อนี้มองดูไม่น่ายากแต่ไหงผมคิม่ะออก

[จอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้]

คุณ nongtum ช่วยกรุณาวาดรูป อธิบายตอน2ข้อ9ด้วยครับ คิดไม่ออกจริงๆ และ Menelaus คืออะไร

[titletam]

ขอขอ 6 ครับคิดไม่ออก ^ ^!!

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sornchai

ข้อ 5 ตอนที่ 2 ของ ม.ต้น ช่วยแนะแนวคิดได้เปล่าครับ ผมมือแปดด้านเลยสำหรับข้อนี้มองดูไม่น่ายากแต่ไหงผมคิดม่ะออก

ถ้าไม่อยากใช้กฏของไซน์ กับการคิดค่าฟังก์ชันครึ่งมุม ลองลากเส้นตามรูปด้านล่างดูครับ
สมมติึความยาวเส้นที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังแต่ละมุมเป็น $x$ จากรูปจะพบว่า $OB\perp AC$ และ $OD\perp AB$
เราทราบว่า เส้นตรงที่ลากจากจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่วไปตั้งฉากกับฐานจะแบ่งครึ่งฐาน
ดังนั้นลองนึกดูนะครับ ว่าจะอาศัยการหาพื้นที่สามเหลี่ยม OBA สองแบบเพื่อผูกสมการหา $x^2$ ได้อย่างไร

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จอมยุทธแห่งบ้านหนองเข้

คุณ nongtum ช่วยกรุณาวาดรูป อธิบายตอน2ข้อ9ด้วยครับ คิดไม่ออกจริงๆ และ Menelaus คืออะไร

ดูรูปด้านล่างนะครับ ที่เหลือคือสามเหลี่ยมคล้ายม.2
Menelaus ในที่นี้คือทฤษฎีบทเมเนเลาส์ครับ (Menelaus Theorem) ครับ หาดูรายละเอียดจากหนังสือหรือกูเกิลดูนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ titletam

ขอขอ 6 ครับคิดไม่ออก ^ ^!!

สมมติตัวแปรตามรูป แล้วผูกสมการแก้หา x จากสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป

[sornchai]

ข้อ 5 ตอนที่ 2 ของ ม.ต้น
ผมหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม BOC สองแบบเหมือนที่คุณ nongtum บอกมาดังนี้
แบบที่ 1 หาโดยใช้สูตร $\frac{1}{2} \times ฐาน\times สูง$
จะได้พื้นที่สามเหลี่ยม BOC = $\frac{OD}{2}$
แบบที่ 2 หาโดยใช้สูตร $\sqrt{S(S-A)(S-B)(S-C)}$
เมื่อหาออกมาแล้วได้ พิ้นที่สามเหลี่ยม BOC = $\frac{\sqrt{4x^2-1} }{4} $
ฉะนั้นจะได้ $\frac{\sqrt{4x^2-1} }{4}\:=\: \frac{OD}{2} $
$OD=\frac{\sqrt{4x^2-1} }{2}$
แล้วทำยังไงต่อครับถึงจะหาค่า X ได้

[nongtum]

#36
ใบ้อีกนิดละกัน สมมติว่า OB ตัด AC ที่จุด E พื้นที่สามเหลี่ยม OBC ได้จาก $\frac12\cdot OD\cdot AB=\frac12\cdot OB\cdot AE$
แต่ถ้าอยากทำแบบด้านบนต่อ ในสามเหลี่ยม OAD จะได้ว่า $OD^2=OA^2-AD^2$

[sornchai]

พื้นที่สามเหลี่ยม $OBC =\frac{1}{2} \times OD\times AB=\frac{1}{2}\times OB\times AE$
แทนค่าลงไปได้ OD = x(AE) ผมคิดไม่ออกจริงๆครับเรื่องนี้ผมไม่ค่อยถนัดเลยช่วยกรุณาบอกต่อนะครับผมคงต้องฝึกอีกเยอะ

[nongtum]

#37
เอาแบบนี้ละกัน ค่อยๆแทนทีละตัวดังนี้นะครับ
เราทราบจาก #36 ว่า $OD^2=OA^2-AD^2=x^2-\frac14$ และจากรูปจะพบอีกว่า $AB=1,\ OB=x$
ในสามเหลี่ยม $OAC$ เราจะหาความยาวของ $AE$ ได้จากกึ่งหนึ่งของความยาว $AC$ ครับ จับพวกนี้มาแทนเข้าสมการด้านบนเพื่อแก้หา $x^2$

[sornchai]

ขอเวลาซัก 3-4 ชม.นะครับผมจะต้องคิดให้ได้ ขอบคุณครับที่ช่วยบอกใบ้ให้

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sornchai

ขอเวลาซัก 3-4 ชม.นะครับผมจะต้องคิดให้ได้ ขอบคุณครับที่ช่วยบอกใบ้ให้

ข้อ 5 ตอนที่ 2 ลองดูรูปนี้ซิครับ อาจจะเข้าใจง่ายขึ้น

หวังว่าคงจะช่วยได้

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ titletam

ขอขอ 6 ครับคิดไม่ออก ^ ^!!

คิดแบบนี้น่าจะเข้าใจได้ง่ายขึ้นนะครับ

[Puriwatt]

ผมชอบวิธีคิดข้อ 9 ของคุณNongtum ช่างคลาสสิคดีจริงๆ

(พอดีกลับจากซ่อมเครื่องจักรที่โรงงาน เลยเข้ามาดูก่อนนอน)

หมายเหตุ ตอนนี้ผมกำลังเน้นฝึกหัดวาดรูปแล้วแนบลงในคำดอบ.. สนุกดีและได้ความรู้ด้วย

[sornchai]

ผมนั่งคิดหลายชั่วโมงยังคิดไม่ออกเลยครับ ทำไมยากจัง
$OD^2=OA^2-AD^2=X^2-\frac{1}{4}$
$AE=\frac{X\sqrt{2} }{2} $
แต่ผมหาวิธีผูกสมการเพื่อหาค่า$ X^2 $ไม่ได้ครับ

ส่วนวิธีของคุณ Puriwatt ผมก็ยัง งงๆอยู่ครับช่วยอธิบายละเอียดอีกหน่อยนะครับ

[nongtum]

#44
สมการ คือ $\frac{1}{2} \times (x^2-\frac{1}{4})\times 1=\frac{1}{2}\times x\times \frac{x\sqrt2}{2}$ ครับ
ซึ่งเมื่อจัดรูปใหม่จะได้ $2x^4-4x^2+1=0$ ดังนั้น $x^2=\dots$
แต่โดย... ดังนั้น $x^2=\dots$
พื้นที่แปดเหลี่ยมได้จากพื้นที่สามเหลี่ยมแปดรูป ดังนั้น พื้นที่หาได้จาก $8\times\cdots$ ซึ่งจะได้คำตอบตรงกับคุณ Puriwatt ครับ

ส่วนวิธีของคุณ Puriwatt คือการแบ่งรูปเป็นส่วนๆก่อนหาพื้นที่ทีละรูปแล้วเอามารวมกันครับ

ข้อหกหากยังไม่เข้าใจ ลองไล่มุมในรูปสักนิดจะช่วยได้มากครับ

ปล. ผมอาจจะมองอะไรลึกเกินไปนิด ขนาดแนวคิดง่ายๆและชัดเจนกว่ามากของข้อห้าและหกที่คุณ Puriwatt ทำให้ดู ตอนทดผมดันมองไม่ออกแฮะ ทั้งๆที่ก็เคยทดได้แบบนั้นตอนเด็กๆนะ