โจทย์ pre-pat thebrain

[Nomoreloss]

กำหนด สามเหลี่ยม$ABC$โดยที่ $cos(A-B)=7/8$ และ $AC=4$ และ $BC=5$ หา $cos(C)$

วันนี้ไปสอบมาครับ ลน ทำไม่ทันหลายข้อเลยใครไปสอบมาบ้างแชร์คำตอบหน่อยครับ

[กขฃคฅฆง]

ลาก $\overline{AD} $ โดยที่ $D$ อยู่บน $\overline{BC}$ และ $D\hat AB = \hat B$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nomoreloss

กำหนด สามเหลี่ยม$ABC$โดยที่ $cos(A-B)=7/8$ และ $AC=4$ และ $BC=5$ หา $cos(C)$

วันนี้ไปสอบมาครับ ลน ทำไม่ทันหลายข้อเลยใครไปสอบมาบ้างแชร์คำตอบหน่อยครับ

แนวคิด

1. โจทย์บอก $\cos(A - B)$ จากสูตร $\cos 2\theta = \frac{1-\tan^2\theta}{1+\tan^2 \theta}$ จะหาค่าของ $\tan(\frac{A-B}{2})$ ได้

2. จากกฎของแทนเจนต์ $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}$ จะหาค่า $\tan(\frac{A+B}{2})$ ได้

3. แต่ $\tan(\frac{A+B}{2}) = \cot \frac{C}{2} $ ดังนั้น จะหา $\tan \frac{C}{2}$ ได้

4. $\cos C = \frac{1-\tan^2 \frac{C}{2}}{1+\tan^2 \frac{C}{2}}$

[Nomoreloss]

ขอบคุณครับ

[mark123 ^.^]

ข้อนี้ถ้าเกิดไม่รู้ law of tangents จะมีวิธีอื่นในการทำไหมอะครับ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mark123 ^.^

ข้อนี้ถ้าเกิดไม่รู้ law of tangents จะมีวิธีอื่นในการทำไหมอะครับ

วิธีผมไม่ต้องใช้ครับ

[thaiaudition]

โจทย์กำหนด $ cos\left(A\,- B\right) = 7/8 \ \ \ \ \ \ AC = 4 \ \ \ \ \ \ BC = 5 $
แสดงว่าโจทย์ต้องการให้ใช้มุม $\left(A\,- B\right) $ (เพราะกระจายออกมาก็มืดแปดด้านอยู่ดี) ดังนั้นเราต้องใช้เรขาคณิตช่วย

จากรูป เราจะเห็นได้ว่า เราจะแบ่งมุม $A$ ให้ส่วนหนึ่งเป็นมุม $B$ ซึ่งมุมที่เหลือก็จะเป็น $A-B$ ทำให้สามเหลี่ยม $ABD$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วพอดี
และสามเหลี่ยม $ADC$ ก็ยังสามารถใช้กฏของ $cosine$ ได้พอดีเพราะโจทย์กำหนด $cos\left(A\,- B\right)$ มาให้
จะได้ว่า $x^{2} = \left(5\,- x\right)^{2} + 16 - 2\left(4\,\right)\left(5\,- x\right)cos\left(A\,- B\right) $
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x=6$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2$
ดังนั้น $ 3^{2} = 2^{2} + 4^{2} - 16cos\left(C\,\right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ 9 = 20 - 16cos\left(C\,\right)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left(C\,\right) = 11/16$