รวมข้อสอบยากครับ ช่วยที

[mark123 ^.^]

1. หาจำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้ $\frac{5n+26}{2n+3}$ เป็นจำนวนเต็ม
2.กำหนดให้ (a,b) เป็น หรม ของ a กับ b ถ้า C = {$(a^3,b^4)$| a และ b เป็นจำนวนเต็มซึ่ง (a,b)=30} แล้วจำนวนสมาชิกในเซต C เท่ากับเท่าไร
3.ให้ a,b,c เป็นมุมของสามเหลี่ยมโดยที่ เป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 178 และ $a \leqslant b \leqslant c$
4. ให้ $A = \left\{\,1,2,3\right\} $ และ $B = \left\{\,a,b,c,d\right\}$ จงหาว่าจำนวนของความสัมพันธ์ r จาก A ไป B ซึ่งโดเมนของ r เป็นสมาชิกเพียงสองตัวเท่านั้น
5.ให้ทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานรูปหนึ่งมี $ \vec{u} = \vec{i} + \vec{j} - \vec{k} , \vec{v} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ และ $ \vec{r} = 2 \vec{i} - 3 \vec{j} +4 \vec{k}$ เป็นด้านและมี $ \vec{u}$ และ $ \vec{v}$ เป็นด้านของฐานถ้าทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้สูง h หน่วย แล้วค่าของ h เท่ากับเท่าใด

[tngngoapm]

เฉลยข้อ1 ครับ
ให้ $m=\frac{5n+26}{2n+3} $
$m(2n+3)=5n+26$
$2mn+3m-5n-26=0$
$2mn-5n+3m-26=0$
$n(2m-5)+\frac{3}{2}(2m-5)=-\frac{15}{2} +26$
$(2m-5)(n+\frac{3}{2} )=\frac{37}{2} $
$(2m-5)(2n+3)=37$
แต่ $m,n$ เป็นจำนวนเต็ม ดูดูแล้วน่าจะได้ว่า
1.$2m-5=1$ และ $2n+3=37$ .......ได้ $m=3,n=17$
2.$2m-5=37$ และ $2n+3=1$ .......ได้ $m=21,n=-1$
3.$2m-5=-1$ และ $2n+3=-37$ .......ได้ $m=2,n=-20$
4.$2m-5=-37$ และ $2n+3=-1$ .......ได้ $m=-16,n=-2$
สรุปว่า จำนวนเต็ม n ทั้งหมดที่ทำให้ $\frac{5n+26}{2n+3} $ เป็นจำนวนเต็มคือ $-20,-2,-1,17$

[Pitchayut]

ข้อ 1 อีกวิธี

จาก $\dfrac{5n+26}{2n+3}\in\mathbb{Z}$ ทำให้ $\dfrac{10n+52}{2n+3}\in\mathbb{Z}$

แต่ $\dfrac{10n+52}{2n+3}=5+\dfrac{37}{2n+3}$ ทำให้ $\dfrac{37}{2n+3}\in\mathbb{Z}
$ ไปด้วย

นั่นคือ $2n+3$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $37$ ซึ่งได้แก่ $1,-1,37,-37$ นั่นคือ $n=17,-1,-2,-20$

[tngngoapm]

เฉลยสำหรับข้อ 5)
$h=\frac{|\overrightarrow{r}\cdot (\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}) | }{|\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}|} $
........................................................................................
$\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$
$=(\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} -\overrightarrow{k})\times(\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +\overrightarrow{k} )$
$=(\overrightarrow{i}) \times( \overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +\overrightarrow{k} )+(\overrightarrow{j} )\times (\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +\overrightarrow{k})-(\overrightarrow{k} )\times (\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +\overrightarrow{k} )$
$=(\overrightarrow{k} -\overrightarrow{j} )+(-\overrightarrow{k} +\overrightarrow{i}) -(\overrightarrow{j} -\overrightarrow{i} )$
$=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j} $
.......................................................................................
$\overrightarrow{r}\cdot ( \overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v})$
$=(2\overrightarrow{i} -3\overrightarrow{j} +4\overrightarrow{k})\cdot (2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j} )$
$=(2)(2)+(-3)(-2)+(4)(0)$
$=10$
.......................................................................................
$\therefore h=\frac{|10|}{|2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}| } =\frac{10}{\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}} } =\frac{10}{2\sqrt{2} }=\frac{5}{\sqrt{2} }$

[tngngoapm]

เฉลยข้อ3 เข้าใจว่าน่าจะถามว่ามีสามเหลี่ยมได้ทั้งหมดกี่รูป
จากมุม $a\leqslant b\leqslant c$และมีค่าเป็นจำนวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง 178
มุมที่เป็นตัวแปรสำคัญน่าจะเป็นมุม $b$.......
ถ้า $b=1$.....จะได้....$a=1$ และ $c=178$..........มีสามเหลี่ยมได้ $1$ รูป
ถ้า $b=2$.....จะได้....$a=1,2$ และ $c=177,176$ ตามลำดับ.......มีสามเหลี่ยมได้ $2$ รูป
ถ้า $b=3$.....จะได้....$a=1,2,3$ และ $c=176,175,174$ ตามลำดับ.......มีสามเหลี่ยมได้ $3$ รูป
ทำไปเรื่อยๆจน $b=60$.......ก็จะได้สามเหลี่ยม $60$ รูป
และต่อไป $b=61$......$a=1,2,3,....,58$.....$c=118,117,116,...61$ ....มีสามเหลี่ยมได้ $58$ รูป
และ $b=62$......$a=1,2,3,....,56$.....$c=117,116,115,...62$ ....มีสามเหลี่ยมได้ $56$ รูป
ทำเรื่อยๆจนถึง $b=89$.....$a=1,2$.......$c=90,89$....มีสามเหลี่ยมได้ $2$ รูป
รวมมีสามเหลี่ยมทั้งหมด $(1+2+3+4+...+60)+(58+56+54+...+4+2)=\frac{60}{2}(1+60)+\frac{29}{2} (58+2)=(30)(61)+(29)(30)=(30)(90)=2700$ รูป