ช่วยหาค่า k หน่อยครับ

[!!!-Argentum-!!!]

$2^{k}$ $\left.\,\right|$ $(15^{2^{2010}}$ - $1$ )

จงหา $k$ ที่มากที่สุด


48 $\left.\,\right|$ ($k^{3}$ + $47$)
$k < 100$
$k$ เป็นจำนวนเต็มบวก

จงหาผลบวกทั้งหมดของ $k$

[Suwiwat B]

ข้อ 2 อะครับ โจทย์น่าจะเป็น $k < 100$ นะครับ ไม่งั้นก็หาได้เยอะมากๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆๆ ผลบวกก็เข้าไปหาอนันต์

[deksanook]

ข้อ1,2.ลองเเยกตัวประกอบดูสิครับ

[Ne[S]zA]

$15^{2^{2010}}-1=(15-1)(15+1)(15^2+1)(15^{2^2}+1)...(15^{2^{2008}}+1)(15^{2^{2009}}+1)=(14)(16)\prod_{n = 1}^{2009}(15^{2^{n}}+1) $
เนื่องจาก $15^{2^{n}}+1$ เป็นจำนวนคู่ และ $15^{2^{n}}+1 \equiv 2 \pmod{4} $ ดังนั้น $15^{2^{n}}+1$ มี 2 เป็นตัวประกอบเพียงตัวเดียว จะได้ว่า
$15^{2^{2010}}-1=(2^5)(7)(2^{2009})k , \exists k $
ดังนั้น k ที่มาที่สุดคือ $ k=2014$

[PP_nine]

http://www.mathcenter.net/forum/show...t=12072&page=2

อันนี้ผมใช้ภาษาแบบค่าย 1 (ไม่มีมอด)