มีคำถามครับ

1. 1991^ 2000 หารด้วย 10^8 เหลือเศษเท่าใด

1991 ^ 2000 =
13884 17422 68783 13790 70796 01075 14012 45088 15263 82211 45942 56965 59794 2041825 45122 43954 44617 36658 20067 20630 54449 86031 17108 03486 21582 80847 62680 9277282 97906 91521 84952 03365 17958 01489 81847 17515 36816 70205 19348 16826 20907 4881893 96291 54787 59447 10618 98042 27063 11957 12093 37631 61973 59227 17576 69337 4345805 89495 74682 11121 14776 81910 81623 43043 64624 90904 98505 94128 86456 45248 9801578 69690 56241 69011 78482 99256 15191 25109 56502 26287 54807 85823 49747 69438 0791586 42870 78142 38321 79777 84788 05150 79676 39847 40406 62269 18034 54403 36024 3897362 08028 98800 42511 07108 73083 58044 20009 21757 27816 91156 61709 40482 90976 2336201 16224 41291 74848 18953 75157 90164 89088 80154 52143 84292 11494 78598 90926 7731394 58580 68638 54979 63693 91790 65500 42725 89654 47005 34351 46840 91057 73873 9896755 76215 82624 27064 26436 10470 25514 03938 33693 13243 57811 65545 83461 47346 8471585 11102 53062 01014 95605 93724 11250 59546 14200 55557 25413 29871 25484 18818 2711326 66950 74654 36587 64438 76066 92275 61588 23865 27102 58896 20080 05233 25152 6916046 07026 29554 53810 91255 76456 38247 18025 08834 28294 11609 42730 85227 62216 8617397 91959 83282 11542 82003 98197 14291 11591 09733 50185 47766 83462 97169 07846 5741554 38625 57346 81728 93991 16372 93948 88451 75421 79281 47786 54367 65298 91966 4643400 76375 32898 84995 13300 90093 58656 38479 52541 86896 39889 20564 41273 20323 2329200 11344 72637 47085 56268 92122 31862 47501 59936 39732 92132 70028 32142 05015 7726732 50668 47724 96225 02203 13373 22695 24374 59974 75876 21832 07996 62139 69318 3336092 05058 73318 46865 48898 67814 69467 96904 93046 71453 31205 75808 59522 02627 6183931 00391 14076 49738 77540 19817 67710 82681 66872 69356 38614 91876 10993 27624 3989323 99946 53334 92965 45848 61296 24873 11069 77069 72700 59073 22835 54360 53830 5342952 31065 40648 46270 95204 65731 08038 17405 71276 86277 81379 77899 13718 61902 8696108 63725 24765 60121 74493 03815 09018 57553 09464 97736 13907 12935 94993 73050 3190924 41335 73495 53375 21904 03217 04382 32656 63439 86225 70669 84296 22662 62304 1833131 43992 32013 92926 70458 77117 52647 27028 54434 93490 41220 10162 86686 52592 4597884 73292 12889 28590 95448 22942 44346 56401 08175 62982 12709 01076 58153 82784 4985397 44758 52681 88620 22381 48655 01002 24843 71300 34978 93783 89641 77656 53808 6911843 82579 65347 13043 96513 71335 26611 98220 39575 32665 47884 04128 02208 63527 2207763 18388 82748 07381 31640 89063 13227 15825 51585 69193 81378 91653 30053 69238 0199741 60628 08313 13188 88858 39093 21568 74069 43571 88468 02957 92212 20322 10833 3318719 19320 92524 52852 45171 02437 67584 19364 52041 72305 06329 67396 94489 75615 7952466 89930 63246 17177 23198 65666 58599 24686 43156 84952 10549 36063 57724 84826 7541603 52310 70136 68268 80608 06972 47112 25583 06744 10822 19361 38527 00412 88665 2919748 64249 08132 44534 40418 24550 42547 90015 42060 30482 04968 15755 31096 89809 1101073 00459 59864 59460 33576 67709 55246 16788 32182 89694 91294 12336 89635 53092 5884880 55103 18270 89316 58539 18054 09471 82288 60205 14870 66228 69352 69684 74625 0766392 28744 39446 83480 88533 83264 90746 16072 46204 32308 37314 81847 51207 22114 2241464 26645 04590 37861 68302 46405 03534 28911 58130 94215 51376 31178 98071 44780 3492180 90413 13259 95390 49135 70199 42724 23364 64368 28013 09909 85524 85685 33979 1808608 78577 91637 60077 83021 33164 58351 78929 96689 64890 68907 29330 33689 64066 7543558 22633 41228 84025 49209 18695 23154 48703 29141 64840 87956 76489 83583 67850 4179695 93361 68801 96935 89696 19347 42329 74836 66158 79854 87926 64067 32854 39647 1460362 14419 76146 72516 74538 21838 20452 18920 03218 63705 93818 91326 08729 00496 8222239 78726 61991 87615 37895 31829 58993 09827 48749 51666 93348 16476 75566 35548 3988727 12526 05090 43514 28439 14039 73774 68426 84522 42900 79100 07707 95925 73262 4316334 97159 20647 15410 68618 75756 68241 43713 79738 54636 63101 44663 84054 62819 2703892 92386 75532 17081 68918 24474 45994 69889 96098 68736 72699 31931 41527 29802 8055106 30367 04567 71419 42425 58976 38488 67076 00505 87931 36415 92823 40500 19745 5078346 64886 94209 08631 08048 19342 71074 48293 46713 67594 19871 35984 42619 87265 2475774 96484 72607 65298 96841 60766 04057 04931 65539 40684 14061 18555 70990 80569 5156024 23525 55315 05610 60697 53543 55518 99648 61402 28379 55146 47241 81789 30342 7704614 75440 64223 97212 18798 35294 42553 88244 89866 15064 98029 10081 59526 60820 5643652 71827 94628 86748 98311 83002 39303 77226 25740 71906 58579 02299 21058 35923 5105877 98433 11535 06885 48146 48046 39031 90448 47809 17242 76804 80586 25587 09971 0619025 40758 20229 23722 18156 68847 80626 04655 45891 79899 07595 55661 75368 81255 3871827 72434 88411 29956 44231 50108 04592 16560 07621 59998 59103 66448 09804 04554 3558082 28266 55145 11561 07537 81724 24732 63564 62371 85522 32476 30064 03366 94298 3187019 96511 21088 45051 20683 74142 13826 66325 71848 48606 87639 38623 09012 70706 8406266 88010 59453 54665 28712 98692 90109 23596 78392 61028 14650 92651 81349 06726 9695924 29326 89753 72109 87626 59756 08944 01268 54089 07256 66796 33800 39575 35011 9962239 28459 92005 53943 78648 42902 89192 24762 29180 69410 00277 52623 10091 92359 3627544 99883 48121 89738 25432 95049 27399 88367 41441 86420 40588 09279 35937 98297 9223964 78559 16792 15731 52834 71876 07150 14948 16861 13682 37938 60176 25838 86544 6424178 07190 28299 91800 13680 01072 35826 28992 39377 16689 88380 34482 63697 42433 2750458 43060 63481 74502 02303 54092 93197 87824 51041 88193 81103 62638 49924 35106 8659448 03472 00551 95590 74555 46973 70552 03208 57289 83978 90743 67251 18878 93032 5761085 34292 51874 35424 07256 70516 20635 46691 39790 70946 55236 33150 37680 05149 2239943 71594 39128 88789 91161 51769 18714 86003 68352 11906 20770 52706 67933 85344 3481531 58493 30694 22994 24018 13928 43194 94556 80150 39613 09753 81714 35580 90613 6137420 25187 25094 79930 62222 72104 03825 27282 36651 79920 67983 43124 34773 19159 5916672 74925 37639 48539 49540 24345 94177 53632 31334 56510 15951 15391 86375 21909 4168179 32988 72628 24005 73369 63385 11685 73376 17755 45235 98224 93089 31255 75835 5249985 27863 84129 77807 86338 68343 88307 57847 51670 38891 81738 40998 52199 79747 0055230 30674 25135 13915 35631 13148 97241 02311 97358 98897 14442 36408 54075 13294 8620064 11658 31182 31332 20460 79331 94979 85442 23073 45121 18397 25870 97668 56983 3501177 49522 87275 56965 73360 35817 37870 63569 78066 84831 18563 32594 59695 42015 2368130 53779 10273 44254 77255 02165 74054 51164 22956 57556 25274 63380 73489 78978 8346360 77515 91694 64709 64590 21413 40523 73917 80653 58341 69220 57172 35546 05909 3755994 38261 15027 46190 08477 55340 22924 69484 05723 42573 13106 42007 63943 77593 2028477 97740 32996 98333 65463 49857 62643 62652 05884 80203 16791 57675 39710 50959 3681612 81263 81583 92565 52099 23414 81809 45995 49492 89528 53671 73300 63401 50864 4022429 43321 56101 58572 43650 57748 73278 19056 11078 05896 81945 17983 41330 78407 1377746 58163 56697 06884 72457 10151 12120 45501 59083 54013 06607 84839 55973 95205 7893139 20078 28508 51296 09327 89302 69762 85456 52185 75926 36276 78809 80491 81803 6835072 20954 42223 41756 38511 29570 71565 95636 64155 07080 83210 57708 62900 62332 5561509 37540 02251 24645 85707 27297 27367 72326 26985 79556 86973 30462 56668 84601 9346294 45092 50315 56741 06350 78006 37915 27899 61295 54429 02797 15838 57748 95899 8790968 77596 23900 83414 29580 47861 03897 16460 73060 43904 31007 41451 17800 52593 8161926 06278 55614 45698 71795 75270 76024 85600 50457 79530 79340 62824 33330 73454 8324196 34859 49185 18062 63045 14467 45971 46331 54185 94836 60403 39727 13701 49936 2662761 85204 92653 44657 35725 73647 79018 11052 98226 48800 01

ดังนั้น 1991 ^ 2000 หารด้วย 10 ^ 8 จึงเหลือเศษเท่ากับ 4,880,001

แหะๆ หากคิดด้วยมือ พิจารณา 1999 ^ 2000 = (2000 - 9) ^ 2000
โดยทฤษฎีบททวินาม จะได้รูปทั่วไปที่กระจายแล้วเป็น ((-1) ^ n)(2000 C n)(2000 ^ (2000 - n))(9 ^ n)
เนื่องจากเราต้องการ เศษจากการหารด้วย 10 ^ 8 ดังนั้น ให้พิจารณาเฉพาะเทอมที่มีศูนย์ตามหลังน้อยกว่า 8

ิพิจารณา เทอมที่สองคือ 2000 ^ (2000 -n) หรือ (2 ^ (2000 - n))(10 ^ (6000 - 3n))
ดังนั้น จะได้ว่า 10 ^ (6000 - 3n) < 10 ^ 8 แก้อสมการจะได้ว่า n >= 1998

พิจารณากรณีที่ n = 1998 เนื่องจาก (2000 C 1998) = 1999000(มีศูนย์ 3 ตัว) เมื่อรวมกับศูนย์ของ 10 ^ 6 จึงมีศูนย์ทั้งสิ้น 9 ตัว ทำให้ใช้ไม่ได้

พิจารณาในทำนองเดียวกัน ในกรณีที่ n = 1999 และ 2000 พิจาณาแล้วจะได้ศูนย์เป็น 6 และ 0 ตัวตามลำดับ จึงเป็นกรณีที่ใช้ได้

เราจึงพิจารณาเศษจากการหารด้วย 10 ^ 8 ได้จากค่าของ (10 ^ 7) - (2000*2000)(9 ^ 1999) + (9 ^ 2000)
เนื่องจาก - (2000*2000)(9 ^ 1999) + (9 ^ 2000) = (9 ^ 1999)(9 - 2000*2000) = (9 ^ 1999)(-3,999,991)

พิจารณาค่าของ 9 ^ 1999 = (10 - 1) ^ 1999
ในทำนองเดียวกันกับการคิดข้างบนจะได้ว่า เลข 7 ตัวท้าย คิดจากบรรทัดข้างล่างนี้ก็พอ คือ
(10 ^ 7) - (1999 C 1993)(10 ^ 6) + (1999 C 1994)(10 ^ 5) - (1999 C 1995)(10 ^ 4) + (1999 C 1996)(10 ^ 3) - (1999 C 1997)(100) + 19990 - 1 = 1,208,889 !!! (เอามาเฉพาะเลข 7 ตัวท้าย)

ดังนั้น (9 ^ 1999)(-3,999,991) = (1,208,889)(-3,999,991) = 5,119,999 (คิดแค่เลข 7 ตัวท้ายคูณกันก็พอ)
สุดท้ายจะได้ว่า 10 ^ 7 - (9 ^ 1999)(-3,999,991) = 10 ^ 7 - 5,119,999 = 4,880,001 (เอามาเฉพาะเลข 7 ตัวท้ายอีกนั่นแหละ)

ปล. นี่เป็นวิธีคิดแบบง่ายๆ(เน้นการใช้กำลังเข้าฟาดฟัน) น่าจะมีวิธีที่ดีกว่านี้