ขอตัวอย่างการใช้สมการโคชี่

[Necron]

คือว่าอสมการโคชี่ ผมพอจะเข้าใจแล้วแต่ผผมไม่เคยเห็นตัวอย่างเลยครับ ใครก็ได้ช่วยโพสตัวอย่างให้ผมจะดีมากเลยครับ

[dektep]

1. $$a,b,c > 0 \longrightarrow \sum_{cyclic}\frac{a}{(b+c)^2} \geq \frac{9}{4(a+b+c)}$$

hint

ย้าย (a+b+c) ขึ้นไปคูณจะเห็นว่าสามารถใช้อสมการโคชีได้

solution

โดยอสมการ Cauchy-Schwarz จะได้ว่า $$(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(c+a)^2})+\frac{c}{(a+b)^2}) \geq (\sum_{cyclic}\frac{a}{b+c})^2 \geq (\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$$ โดย nesbitt's inequality #

2. If the equation $x^4+ax^3+2x^2+bx+1 = 0$ has at least one real root,then
$$a^2+b^2 \geq 8$$

hint

จาก $x^4+ax^3+2x^2+bx+1 = 0$ จะได้ว่า $(ax^3+bx)^2 = (x^2+1)^4$

solution

โดยอสมการโคชีจะได้ว่า $$(a^2+b^2)(x^6+x^2) \geq (ax^3+bx)^2=(x^2+1)^4$$
$$\longrightarrow a^2+b^2 \geq \frac{(x^2+1)^4}{x^2+x^6} \geq 8$$ (เพราะว่า $\frac{(x^2+1)^4}{x^2+x^6} \geq 8 \longleftrightarrow (x^2-1)^4 \geq 0$ ) #

3. Let $a,b,c,x,y,z$ be positive real numbers such that $x+y+z = 1$.Prove that $$ax+by+cz+2\sqrt{(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)} \leq a+b+c$$

hint

$$2\sqrt{(xy+yz+zx)(ab+bc+ca)}=\sqrt{2(xy+yz+zx)}\sqrt{2(ab+bc+ca)}$$

solution

$$LHS \leq \sqrt{a^2+b^2+c^2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}+\sqrt{2(xy+yz+zx)}\sqrt{2(ab+bc+ca)}$$ $$\leq \sqrt{a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)}\sqrt{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}=(a+b+c)(x+y+z)=(a+b+c)$$ #

4.Let $a,b,c$ be positive real numbers.Prove that
$$\sum_{cyclic}\frac{b+c}{a} \geq 4\sum_{cyclic}\frac{a}{b+c}$$

hint

$$LHS = \sum_{cyclic}b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})$$

solution

$$LHS = \sum_{cyclic}b(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}) \geq \sum_{cyclic}b(\frac{4}{a+c})=4\sum_{cyc}\frac{a}{b+c}$$ โดยอสมการ Cauchy-Schwarz #

5.Prove that if $x,y,z$ are real numbers such that $x^2+y^2+z^2 = 2$,then
$$x+y+z \leq xyz+2$$

hint

$$x+y+z-xyz = (x+y)(1)+(z)(1-xy)$$

solution

จาก $$2=x^2+y^2+z^2 \geq x^2+y^2 \geq 2xy \longrightarrow xy \leq 1$$
โดยอสมการ Cauchy-Schwarz ; $$x+y+z-xyz = (x+y)(1)+(z)(1-xy) \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2+2xy}\sqrt{1+1-2xy+x^2y^2}=\sqrt{(2+2xy)(2-2xy+x^2y^2)}$$
ให้ $$a=xy ,\therefore a \leq 1 ,\because \sqrt{(2+2xy)(2-2xy+x^2y^2)} \leq 2 \longleftrightarrow a^2(a-1) \leq 0$$
ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก $a \leq 1$ ดังนั้น $\sqrt{(2+2xy)(2-2xy+x^2y^2)} \leq 2$
ดังนั้น $$x+y+z-xyz \leq 2 \longrightarrow x+y+z \leq 2+xyz$$#

ไม่รู้ว่าที่คุณ Necron ต้องการใช่แบบนี้หรือเปล่าครับ

[Necron]

ที่ผมต้องการคือโจทย์ขั้นพื้นฐานอ่ะครับ
ว่าแต่ ∑cyclica(b+c)2 คืออะไรหรอครับ

[RoSe-JoKer]

เออ $a,b,c>0$ พิสูจน์ว่า
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

[dektep]

แบบพื้นฐานครับ
1. ให้ $a,b,x,y \in R, x+y > 0$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y} \geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$$

2. ให้ $a_{1},a_{2},...,a_{n},x_{1},x_{2},...,x_{n} \in R$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{{a_{1}}^2}{x_1}+\frac{{a_{2}}^2}{x_2}+...+\frac{{a_{n}}^2}{x_n} \geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^2}{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}$$

3.(Nesbitt's Inequality) ให้ $a,b,c \in R^{+}$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq
\frac{3}{2}$$

4. ให้ $a,b,c \in R$ จงพิสูจน์ว่า $3(a^2+b^2+c^2) \geq (a+b+c)^2$

5. ให้ $a,b,x,y \in R$ และ $a^2+b^2 =1$ จงพิสูจน์ว่า $ax+by \leq \sqrt{x^2+y^2}$

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

แบบพื้นฐานครับ
3.(Nessbit's Inequality) ให้ $a,b,c \in R^{+}$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq
\frac{3}{2}$$

เขียนคำว่า เนสบิตต์ ผิดหรือเปล่าครับ

[dektep]

แก้ให้แล้วครับ

[JanFS]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

แบบพื้นฐานครับ
3.(Nesbit's Inequality) ให้ $a,b,c \in R^{+}$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq
\frac{3}{2}$$

ก็ยังผิดครับ "- -
Nesbitt ครับ

[dektep]

แก้ให้อีกรอบแล้วครับ - -
ปล.ผม hint,solution 5 ข้อแรกให้แล้วนะครับ

[God Phoenix]

คุณ dektep รู้โจทย์เยอะมากๆเลยนะครับเนี่ย