Congruence Problem !!

[-SIL-]

เป็นโจทย์ที่ผมคิดว่าน่าสนใจจากในค่ายครับ ท่านใดว่างๆก็ช่วยกันทำนะครับ

1. จงแก้สมการ $108x \equiv 171 (mod 529)$
2. จงแก้สมการ $\cases{ 3x-7y \equiv 4 (mod 9) \cr 7x-3y \equiv 1 (mod 19) } $
3. ให้ $p\in P$ จงพิสูจน์ว่า $2(p-3)! \equiv -1(mod p)$ และจงหาเศษเหลือเมื่อหาร $56!$ ด้วย $59$
4. ให้ $p\in P$ จงพิสูจน์ว่า $\binom{2p}{p} \equiv 2(mod p) $

[LightLucifer]

ข้อแรก ใช้ วิธีการหารของยูคลิด หารให้เหลือ หรม แล้วคูณทบขึ้นไปก็น่าจะออก

ข้อสาม โดย Willson Theorem
$(p-1)!\equiv -1 \pmod{p}$
$(p-1)(p-2)(p-3)!\equiv (2)(p-3)! \equiv -1 \pmod{p}$

ข้อสี่แยกดูแล้วใช่ว่า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ