ช่วยด้วยครับ หลักสูงสุด*

[-Math-Sci-]

จำนวน $2^1,2^2,2^3,...2^{100}$ เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 10 จงหาว่ามีกี่จำนวนที่มีหลักสูงสุดเป็นเลข 1

กำหนดให้ $2^{100} เป็นเลขที่มีจำนวน 31 หลัก$

ขอคำอธิบายด้วยนะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -Math-Sci-

จำนวน $2^1,2^2,2^3,...2^{100}$ เมื่อเขียนในระบบเลขฐาน 10 จงหาว่ามีกี่จำนวนที่มีหลักสูงสุดเป็นเลข 1

กำหนดให้ $2^{100} เป็นเลขที่มีจำนวน 31 หลัก$

ขอคำอธิบายด้วยนะครับ

หลักสูงสุดยังไงอ่ะครับ หมานถึงหลักที่มค่ามากที่สุดหรือเปล่าครับ

[passer-by]

ขอตอบแบบ ม.ปลายแล้วกันครับ

Take log ดูจะเป็นวิธีง่ายสุดของข้อนี้

ถ้าเรา Fix จำนวนนับ n ไว้ จะนับว่ามีกี่ k ที่สอดคล้องกับอสมการ $ 1 \cdot 10^n < 2^k <2 \cdot 10^n $

เมื่อ take log ฐานสิบให้อสมการนี้ จะได้ $ n < k\log 2 < n + \log 2 \Rightarrow \frac{n}{\log 2} < k < \frac{n}{\log 2} +1 $

แสดงว่า สำหรับ n 1 ค่า จะให้ k 1 ค่าเท่านั้น

ในเมื่อโจทย์กำหนดจำนวนหลักของ $2^{100}$ มาให้ 31 หลัก ก็ลอง check ว่า n=30 มี k ไม่เกิน 100 มารองรับอสมการข้างต้นหรือเปล่า ถ้ามี ก็ตอบ 30 ถ้าไม่มีก็ตอบ 29 ครับ

[-Math-Sci-]

ตอบ 30 ครับ งงตอนสุดท้ายทีว่า ถ้าไม่มีก็ตอบ 29 หมายความว่ายังไงหรอครับ

แต่ ขอบคุณมากนะครับ

[passer-by]

คือตอนที่ผม post ยังไม่ได้ทดและรีบพิมพ์ไปหน่อย ก็เลยเขียนแบบกลางๆ ไว้ก่อนว่า ถ้ามีก็ตอบ 30 ไม่มีก็ตอบ 29 ซึ่งอาจจะไม่รัดกุมพอ

จริงๆ ผมควรจะบอกว่า...

เนื่องจาก $2^1 \,\, ,2^2 \,\, ,2^3 \,\, , \cdots 2^{100}$ มีเลขครบตั้งแต่ 1,2,3..,31 หลัก (Easy to check) ประกอบกับอสมการที่ post ไว้ก่อนหน้านี้ที่มีใจความว่า ถ้าตั้งค่า n ไว้ ต้องหา unique k ได้

ดังนั้นข้อนี้ก็เลยตอบ 30 ครับ