หาเทอมเล็กสุด ในลำดับเลขคณิต

#1 30 มีนาคม 2001, 16:56

ลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่ง มี 5 ตัว
โดยทั้ง 5 ตัวนั้นเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด
ให้หาเทอมที่น้อยที่สุดในลำดับนั้น

คิดได้แต่คำตอบ แต่เขียนวิธีทำไม่ได้ ช่วยแนะนำหน่อยครับ

#2 30 มีนาคม 2001, 16:57

สมมติให้ลำดับดังกล่าวคือ a-d , a , a+d , a+2d , a+3d (จะสังเกตพบว่า a ต้องเป็นจำนวนคี่และ d เป็นจำนวนคู่)
ก่อนอื่นเราจะพิจาณาถึงค่า d ที่เป็นไปได้ทั้งหมด เพื่อที่จะได้ไม่ต้องทดสอบทุกค่า d
เริ่มจากการพิจารณาค่า d ที่มีเลขหลักหน่วยลงท้ายเป็น 2 , 4 , 6 และ 8 ตามลำดับ เมื่อนำ d ดังกล่าวไปสร้างเป็นลำดับเลขคณิตจะได้ลำดับเลขคณิตที่มีเลขหลักหน่วยลงท้ายเป็นดังนี้
เมื่อเลขหลักหน่วยลงท้ายของ d เป็น 2 จะได้เลขหลักหน่วยลงท้ายของลำดับดังกล่าวเป็น 3 , 5 , 7 , 9 , 1
เมื่อเลขหลักหน่วยลงท้ายของ d เป็น 4 จะได้เลขหลักหน่วยลงท้ายของลำดับดังกล่าวเป็น 3 , 7 , 1 , 5 , 9
เมื่อเลขหลักหน่วยลงท้ายของ d เป็น 6 จะได้เลขหลักหน่วยลงท้ายของลำดับดังกล่าวเป็น 3 , 9 , 5 , 1 , 7
เมื่อเลขหลักหน่วยลงท้ายของ d เป็น 8 จะได้เลขหลักหน่วยลงท้ายของลำดับดังกล่าวเป็น 3 , 1 , 9 , 7 , 5
เราจะสังเกตพบว่าหากเลขหลักหน่วยลงท้ายของ d เป็น 2 , 4 , 6 หรือ 8 จะไม่สามารถสร้างลำดับเลขคณิตที่เป็นจำนวนเฉพาะทุกจำนวนได้ เนื่องจากหนึ่งในห้าของลำดับเลขคณิตนั้นจะหารด้วย 5 ลงตัวเสมอ นั่นคือเราจะเหลือเลขหลักหน่วยลงท้ายที่เป็นไปได้เพียงกรณีเดียวคือ เลขหลักหน่วยลงท้ายเป็น 0 ซึ่งก็คือ d = 10 , 20 , 30 , ...
แต่เราสามารถตัดกรณีที่ d = 10 ออกไปได้อีกกรณี เนื่องจากในลำดับ x , x + 10 , x + 20 จะต้องมีจำนวนใดจำนวนหนึ่งที่หารด้วย 3 ลงตัวเสมอ ในทำนองเดียวกันเราจะพบว่าหาก d หารด้วย 3 ไม่ลงตัวแล้ว ลำดับ x , x + d , x + 2d จะต้องมีจำนวนใดจำนวนหนึ่งที่หารด้วย 3 ลงตัวเสมอ นั่นคือเราจะได้ d ที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ d = 30 , 60 , 90 , ... (เราจะพบว่าจะไม่สามารถพิจารณาแบบเดียวกันกับ 7 , 9 และ 11 ได้เพราะลำดับนี้มีเพียง 5 ตัวติดกันเท่านั้น)
หลังจากพิจารณาค่า d ที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว เราจึงมาเริ่มพิจาณาจากค่า a (ที่เราต้องเริ่มพิจารณาจากลำดับตัวที่ 2 ก่อน ก็เพื่อให้เราสามารถหาวิธีการตรวจสอบให้ครบทุกกรณีได้ ซึ่งความจริงแล้วเราสามารถพิจารณาจากลำดับตัวที่ 3 , 4 หรือ 5 ก็ได้เช่นกัน แต่เราจะพบว่าการตรวจสอบจากลำดับตัวที่ 2 จะทำให้ใช้เวลาน้อยกว่า)
เนื่องจาก d เริ่มต้นที่ค่า 30 ดังนั้น a จึงเริ่มต้นที่ค่า 33 แต่เนื่องจาก 33 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะเราจึงต้องข้ามไปเรื่อยๆจนกว่าจะพบจำนวนเฉพาะ ซึ่งก็จะพบว่าค่า a คือ 37 เป็นค่าแรกที่จะนำมาตรวจสอบ
ที่ค่า a = 37 เราจะได้ว่าค่า d = 30 , ... , 37-3 = 33 หรือมีค่า d ที่ใช้ได้คือ d = 30 เพียงค่าเดียว เมื่อนำมาตรวจสอบจะได้ลำดับเป็น 7 , 37 , 67 , 97 , 127 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด
ดังนั้นค่าที่น้อยที่สุดในลำดับนี้จึงเป็น 7

#3 30 มีนาคม 2001, 16:57

แต่ตัวอย่างลำดับหนึ่งที่ผมหาได้คือ
5 , 11 , 17 , 23 , 29

#4 30 มีนาคม 2001, 16:58

เป็นไปได้ครับ เพราะว่าตอนแรกผมตัดกรณีที่ d เป็น 2 , 4 , 6 , 8 ออกไปเนื่องจากว่ามันจะต้องมีจำนวนใดจำนวนหนึ่งที่หารด้วย 5 ลงตัวเสมอ แต่ลืมคิดไปว่า ในกรณีที่ตัวที่หารด้วย 5 ลงตัวนั้น หากเป็น 5 เองแล้วจะไม่มีปัญหา เพราะถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะอยู่แล้ว นั่นคือต้องเพิ่มการตรวจสอบอีกกรณีที่ลำดับตัวแรกนั้นเป็น 5 เข้าไป (่ไม่จำเป็นต้องเพิ่มกรณีที่ลำดับตัวแรกเป็น 3 เพราะในลำดับที่ d หารด้วย 3 ไม่ลงตัวนั้น จะมีตัวที่หารด้วย 3 ลงตัวที่ไม่ใช่ 3 เองอยู่เสมอ ) จึงจะครอบคลุมในการหาลำดับดังกล่าวทุกกรณีที่เป็นไปได้อย่างรวดเร็ว

#5 30 มีนาคม 2001, 16:58

สมมุติลำดับทั้ง 5 คือ
a , a +r , a+2r , a+3r , a+4r
ถ้าต้องการให้ทั้งหมดเป็นจำนวนเฉพาะจะเห็นได้ชัดว่า
a จะต้องไม่ถูกหารด้วย 3 ลงตัว (มิฉะนั้น a+3r จะเป็นจำนวนประกอบ) และ a ต้องไม่ถูกหารด้วย 2 ลงตัว (มิฉะนั้น a + 2r
และ a+4r จะเป็นจำนวนประกอบ)
เพราะฉะนั้นค่า a ซึ่งเป็นเทอมที่น้อยที่สุดในลำดับที่ไม่ถูกหารด้วย 3 หรือ 2 ลงตัว, เป็นจำนวนเฉพาะ และมีค่าตำที่สุดคือ 5
จะแสดงว่าเราสามารถสร้างลำดับดังกล่าวที่เริ่มต้นจาก 5 ได้
5 , 5 + r , 5 +2r , 5+3r , 5+4r
จะเห็นได้ว่า r ที่เลือกจะต้องมีคุณสมบัติคือ
1. เมื่อถูกหารด้วย 3 แล้วจะต้องไม่เหลือเศษ 1 และ 2
<เพราะจะทำให้ 5+r , 5+4r และ 5+2r ถูกหารด้วย 3 ลงตัว>
ดังนั้น r ที่มีโอกาสเป็นไปได้คือถูกหารด้วย 3 แล้วเหลือเศษ 0
นั่นคื อ r= 3k
2 r เป็นจำนวนคู่เท่านั้น <เพราะถ้าเป็นจำนวนคี่จะถูกหารด้วย 2 ลงตัว>
3 จาก 1 และ 2 ค่า r ที่มีโอกาสทำให้ทั้ง 5 เทอมเป็น prime
เขียนได้ในรูป r=6m
ก็ลองเริ่มต้นแทนค่า r = 6 จะได้ลำดับ
5 11 17 23 29
หรือ r=12 จะได้ลำดับคือ
5 17 29 41 53 เป็นต้น

#6 30 มีนาคม 2001, 16:59

เหตุผลที่น้อง parn บอกว่า a จะต้องไม่ถูกหารด้วย 3 ลงตัว หรือ ไม่ถูกหารด้วย 2 ลงตัว ผมว่าไม่ถูกต้องนะ เพราะ a เป็นจำนวนเฉพาะอยู่แล้ว ดังนั้น หาก a โดยตัวมันเองถ้าไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้ว ยังไงซะ ก็ไม่มีทางถูกหารด้วย 2 หรือ 3 ลงตัวอยู่แล้ว(ไม่จำเป็นต้องพิจารณาถึง a + 3r หรือ a + 2r) จึงไม่อาจใช้เหตุผลนี้กล่าวสรุปได้ทันทีว่า a จะต้องเริ่มที่ 5 แต่เหตุผลที่ใช้สรุปว่า a เริ่มต้นที่ 5 คือ

1. 2 ไม่อาจใช้เป็นลำดับแรกได้อย่างเห็นได้ชัด
2. 3 ไม่อาจใช้เป็นลำดับแรกได้เพราะ เรารู้ว่า d = 30 , 60 , 90 , ... (ยกเว้นกรณีที่ลำดับแรกเป็น 5 เท่านั้น ที่จะทำให้ d = 6 , 12 , 18 , ... ) ดังนั้นเห็นได้ชัดว่า ลำดับนี้ไม่เป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมดแน่

#7 30 มีนาคม 2001, 16:59

หรือถ้าจะบอกแบบนั้นก็ต้องกำหนดไปเลยว่า
หาก a = 2 จะพบว่า 2 + 2r หารด้วย 2 ลงตัวเสมอ
หาก a = 3 จะพบว่า 3 + 3r หารด้วย 3 ลงตัวเสมอ
จึงจะดูสมเหตุสมผลกว่า

James_waraniphit · #8 01 มิถุนายน 2008, 16:38

งงครับทำยังไง

RETRORIAN_MATH_PHYSICS · #9 05 มิถุนายน 2008, 19:25

โอ้ เอาไรขุดครับเนี่ย 7 ปีที่แล้ว