ช่วยหน่อยครับ อีกสักข้อ

[Maphybich]

ง่ายๆแต่ผมคิดไม่ออก T T

สำหรับ $x,y,z\in \mathbb{R^+}$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z}}\leqslant 2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich

ง่ายๆแต่ผมคิดไม่ออก T T

สำหรับ $x,y,z\in \mathbb{R^+}$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z}}\leqslant 2$

อสมการไม่ sharp มากๆเลยครับ จึงมีวิธีทำได้เยอะแยะ

$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{3+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

$-\dfrac{1}{1+x+y+z}\leq-\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

ดังนั้น

$LHS\leq \dfrac{3+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)}{(1+x)(1+y)(1+z)}-\dfrac{1}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

$~~~~~=\dfrac{2+2(x+y+z)+(xy+yz+zx)}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

$~~~~~<\dfrac{2+2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)+2xyz}{(1+x)(1+y)(1+z)}$

$~~~~~=2$

น่าจะทำให้ sharp กว่านี้ได้ ลองไปคิดต่อดูครับ

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Maphybich

ง่ายๆแต่ผมคิดไม่ออก T T

สำหรับ $x,y,z\in \mathbb{R^+}$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z}}\leqslant 2$

$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z} <
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} < 2$$

ฮาได้ใจ

[Spotanus]

ปล. อันที่จริงแล้วในกราฟสี่มิติ เราจะรู้ได้ว่า
$$\displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z}}< 2$$
เราจะมี $2$ เป็นค่าที่ดีที่สุด เราไม่สามารถหาค่าคงที่ที่ดีกว่านี้ได้อีกแล้ว

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z} <
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} < 2$$

ฮาได้ใจ

......$x+y<0$ ????
ปล. อันที่จริงแล้วในกราฟสี่มิติ <<< คือยังไงหรอครับผมไม่รู้จักอะครับ ชี้แนะทีครับ

[square1zoa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RoSe-JoKer

......$x+y<0$ ????
ปล. อันที่จริงแล้วในกราฟสี่มิติ <<< คือยังไงหรอครับผมไม่รู้จักอะครับ ชี้แนะทีครับ

$x+y<0$ บ้าหรือเปล่า บวกทั้งคู่นะครับ อีกอย่างโจทย์ถูกป่าว น่าจะเป็น $R^+$ รวม $0$ด้วยครับ

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ square1zoa

$x+y<0$ บ้าหรือเปล่า บวกทั้งคู่นะครับ อีกอย่างโจทย์ถูกป่าว น่าจะเป็น $R^+$ รวม $0$ด้วยครับ

......คุณน่ะแหละครับบ้าหรือป่าว?? ลองดูวิธีทำของคุณ Spotanus ดีๆสิครับ....แล้วค่อยมาว่าผมบ้าก็ไม่สาย...
แล้ว $R+$ รวม 0 อะละไว้ก็ได้ครับ...เพราะถ้าเป็นจริงสำหรับ $R+$ เช่น จริงสำหรับ $a,b,c\in R+$ แล้วแสดงว่าเราเลือก
$a,b,c$ ที่ลู่เข้าสู่ 0 ทางด้านบวกได้ครับ ซึ่งคุณสมบัติมันก็คล้าย 0 ดีๆนิเอง...

[Spotanus]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Spotanus

$$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}-\frac{1}{1+x+y+z} <
\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} < 2$$

ฮาได้ใจ

โอเคครับ... ผมยอมรับว่าผมบ้าที่ผมเขียนไม่ดี ที่ไม่ได้อธิบายวิธีทำ = =*
วิธีอันนี้ก็คือสังเกตว่า ถ้าลด $x$ หรือ $y$ หรือ $z$ ให้ยิ่งใกล้ $0$ เท่าไร ค่าในโจทย์จะยิ่งมากขึ้น
แล้วเราก็บีบไป บีบไป ก็จะทำให้มันน้อยกว่า $2$ ในทุกค่านั่นเอง

เราใช้ เมเจอร์ไรเซชั่นก็ได้นะครับ แต่พอมันเป็น strictly convex มันก็ทำให้ไม่เกิดเงื่อนไขที่ทำให้เป็นสมการนั้นเอง

[RoSe-JoKer]

คือที่ผมไม่เข้าใจก็คือ
$\sum_{cyc} \frac{1}{1+x} - \frac{1}{1+x+y+z} < \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}$ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ
$\frac{1}{1+z} < \frac{1}{1+x+y+z}$
นั้นคือ
$1+x+y+z<1+z$
$x+y<0$
เกิดข้อขัดแย้ง...
มีแค่นี้แหละครับ แล้วอยากทราบว่าจะใช้กราฟ 4 มิติกับอสมการอย่างไรครับ ขอบคุณมากครับ
ส่วนเรื่องถ้า bound อสมการเป็น
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}$ ได้ผมก็พอเข้าใจอยู่แล้วแหละครับว่าทำไม
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} <2 $

[square1zoa]

ผิดเองที่ไม่รอบคอบ โทดทีนะครับ