ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ

[สิริกานต์]

ค่ะ เข้าใจแล้วค่ะ เหมือนตอนแรกที่คิดไว้เลย หนูก็ทำแบบนี้เหมือนกัน แต่ถ้าย้อนกลับไปดูว่า
สำหรับ ถ้า x> sinx แล้ว x/3 > sin(x/3) เป็นจริงใช่มั้ยค่ะ คืออาจารยืบอกกับหนูว่า
สำหรับ x> sinx แล้ว 1/3ดx > 1/3ดsinx อยาทราบว่ามีสมบัติมั้ยว่า สำหรับ ถ้า x> sinx แล้ว x/3 > sin(x/3) อย่างในกรณีของ sin3θ=3sinθ−4(sinθ)^3
มันก็จะได้ว่า sinθ=3sin(θ/3)−4(sin(θ/3))^3 ถ้าเป็นแบบนี้ก็เข้าใจได้เลยว่า เอา 3 หารค่าของมุม
ทุกมุมที่อยู่หลัง ฟังก์ชันก์ตรีโกณ ในที่นี้คือ sin ตรงนี้โอเคแล้วรู้มาตั้งแต่ ม.ปลาย
แต่ พอเจอคำถามว่า x> sinx แล้ว x/3 > sin(x/3) เป็นจริงรึเปล่า มันงงงง ตรงที่ x อีกตัวนึง ไม่มีฟังก์ชันตรีโกณรองรับ แต่ x อีกตัวนึงมี sin รองรับ เพราะฉะนั้น จะใช้การหารมุมเหมือนกับสูตรของ sin3q
ได้หรือเปล่าค่ะ พี่ยังไม่ตอบ เรื่องช่วงของ x>sinx เลย ช่วยดูให้หน่อยค่ะว่าที่ post ไปถูกมั้ย

[สิริกานต์]

ลืมบอกไปว่า สำหรับ x>sinx กำหนด x คือ ค่าบวกเล็กๆ (มันไม่ใช่องศาแต่เป็นเรเดียนใช่มั้ยค่ะ... )

[gon]

เวลาน้องเขียน พยายามเรียบเรียงเว้นวรรค เว้นบรรทัดให้อ่านง่ายด้วยครับ.

สรุปให้สั้น ๆ ตรงนี้ก่อนออก

$x > \sin x$ ทุก $x > 0$

x ไม่เคยพูดถึงองศาเลยสักครั้ง หมายถึงจำนวนจริง (เรเดียน)ตลอด

ถ้าเรามี $x > \sin x$ ทุก $x > 0$

หมายความว่า $\frac{x}{3} > \sin \frac{x}{3}$ ทุก $\frac{x}{3} > 0$
หมายความว่า $\frac{x}{3^2} > \sin \frac{x}{3^2}$ ทุก $\frac{x}{3^2} > 0$ เป็นต้น.

[สิริกานต์]

เข้าใจแล้วค่ะ แล้วรูปวงกลมที่พี่วาดเนี่ย q เป็นเรเดียนใช่มั้ยค่ะมันจะเป็นองศาไม่ได้ เพราะเนื่องจาก rqเป็นความยาว ของส่วนโค้งที่รองรับมุม(เรเดียน) หนูเข้าใจถูกมั้ยค่ะ

[สิริกานต์]

อ้อ อีกอย่างค่ะ พี่รู้เวปไซต์ที่โหลดโปรแกรมคณิตศาสตร์บ้างมั้ยค่ะ เช่น mathtype maple matlabพวกเขียนกราฟ เอาแบบไม่ต้องเสียตังนะ ไม่มีเงินจ่ายค่ะ

[gon]

คำถามแรก เข้าใจถูกแล้วครับ ประมาณนั้น ตอนแรกเราพิสูจน์ว่า x > sin x ทุก 0 < x < pi/2 แต่ sin x ค่าสูงสุด คือ 1 ดังนั้นมันจึงเป็นจริงทุก x > 0 ด้วย.

สำหรับคำถามล่าง คำถามนี้พี่ตอบไม่ได้ครับ. ที่ตอบได้ก็คืออินเทอร์เน็ต เป็นคลังสมบัติ ที่มีมูลค่านับไม่ถ้วน ใครมีความสามารถมากก็จะสามารถหยิบสมบัตินั้นมาเป็นของตัวเองได้มากเท่านั้น เพียงแต่ถ้าเราหยิบฉวยมามากเท่าใด เราก็ควรที่ตอบแทนกลับคืนสู่มันมากเท่านั้น ไม่ในรูปใดก็รูปหนึ่งเช่นกัน ภาพของอินเทอร์เน็ตที่น้องเห็นขณะนี้ อาจจะยังไม่ใช่ทั้งหมดของมัน ลองหาเวลาศึกษาไปเรื่อย ๆ แล้วคงจะเข้าใจคำพูดพี่ในอีก 3 - 7 ปีหรือ...

[สิริกานต์]

สวัสดีค่ะพี่กร สบายดีมั้ยค่ะ ไม่ได้มากวนตั้งนานนนนนเลย วันนี้คงรบกวนอีกแต่ไม่มากนะค่ะ
คือว่า

[สิริกานต์]

คงจาถูกนะค่ะ ถ้าถูกแล้ว พี่พอจะมีวิธีอื่นในการพิสูจน์ มั้ย

[nooonuii]

ไม่รู้ว่าทันมั้ย แต่ผมพิสูจน์ได้ว่า $\sin{x}\geq x - \frac{x^3}{3!}$ ทุกค่า $x\geq 0$ ครับ

พิสูจน์ :
Let $\displaystyle{ g(x) = \cos{x} - 1 + \frac{x^2}{2} }$.
Then $g(0) = 0$ and $g'(x) = -\sin{x} + x \geq 0$ for all $x\geq 0.$
Thus $g$ is increasing on $[0,\infty)$, so $g(x)\geq g(0) = 0 $ for all $x\geq 0$.

Next, let $f(x) = \sin{x} - x + \frac{x^3}{3!}$.
Then $f(0) = 0$ and $f'(x) = g(x) \geq 0$ for all $x\geq 0$ from the above assertion.
Thus $f$ is increasing on $[0,\infty)$ and hence $f(x) \geq f(0) = 0$ for all $x\geq 0$, i.e.,

$$\sin{x}\geq x - \frac{x^3}{3!}$$ for all $x\geq 0$, as required.

เพิ่มเติม : จากอสมการ $\displaystyle{ \cos{x} \geq 1 - \frac{x^2}{2} }$ เราจะได้ทันทีว่า

$\displaystyle{ \cos{x} \geq 1 - \frac{x^2}{2} \geq 1 - x^2 }$ ครับ

[สิริกานต์]

ที่พี่nooonuii ทำก็ถูกค่ะ แต่กำหนดไว้แล้วว่า x ต้องเป็นค่าบวกเล็กๆ ดังนั้น ต้องเปลี่ยนช่วงใหม่เป็น
x>0 พี่กรไม่เห็นเข้ามาเลยอ่าค่ะ อยากได้อีกสักสองวิธี

[สิริกานต์]

ช่วยดูหน่อยค่ะว่า วิธีต่อไปนี้ที่จะทำถูกต้องมั้ย คือ จะพิสูจน์ cosx <1 สำหรับ x ที่มีค่าเป็นบวกเล็กๆ

[Mastermander]

$$\cos x \leq 1\quad ,\forall x \in \mathbb{R}$$

เพราะว่า $\cos 0 =1$ เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชัน
และ cos เป็นฟังก์ชันลด ในช่วงค่าบวกเล็กๆ(ที่กล่าวมา)

ดังนั้น $\cos x<1$ for small positive x

[gon]

ช่วงนี้พี่ไม่ใครจะสบายเท่าไรครับ. อาทิตย์ก่อนเป็นไข้ 1 วัน ดีที่นอนไปหลายสิบชั่วโมง ตื่นมาหายไข้ พลังมังกรคืนชีพ

อาทิตย์นี้เจ็บคอ ร้อนใน อ้าปากพูดไม่สะดวก ตอนนี้ขอตอบเฉพาะคำถามที่ให้พิสูจน์ว่า

$\cos x > 1 - x^2$ เท่านี้ก่อนนะครับ.(เรื่องแคลคูลัส ช่วงนี้ไม่ถนัด เพราะปกติไม่ได้แตะ)

เพราะว่า $\cos x = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} \quad (*)$

แต่ $x > \sin x$ ทุก x > 0
ดังนั้น $\sin \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2} < (\frac{x}{2})(\frac{x}{2})$ ทุก $\frac{x}{2} > 0$
นั่นคือ $1 - 2\sin^2\frac{x}{2} > 1 - 2(\frac{x^2}{4})$ ทุก x > 0

ดังนั้น $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$ ทุก x > 0
จึงได้ว่า $\cos x > 1 - x^2$ ทุก x > 0 ด้วย
[ เพราะว่า $1 - \frac{x^2}{2} > 1- x^2$ ทุก x > 0 (เพราะ $
\frac{1}{2} < 1$) ]

ตอนนี้ขอตัวไปอ่านหนังสือต่อ เพราะว่า นิยายจีนที่พี่รอมาราวปีหนึ่งเห็นจะได้ "จอมคนแผ่นดินเดือด" เพิ่งวางแผงวันนี้(มั้ง)

[สิริกานต์]

อิอิ ไม่สบายบ้างแหละดีแล้ว แข็งแรงมาตลอดปี มันแปลกๆนะค่ะ ขอให้หายไวๆ นะพี่
เข้าเรื่องดีกว่า คือว่าที่พี่โพสมาเนี่ยหนูก็คิดไว้แล้วค่ะ ก็คือการใช้เอกลักษณ์ตรีโกณ เหมือนกับพิสูจน์
sinX>x-x^3/6 และอีกวิธีนึงก็คือ การใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยพิสูจน์ออกมา
อยากทราบว่านอกเหนือจากสองวิธีนี้แล้ว ยังมีวิธีอื่นอีกมั้ยค่ะ แต่ขอบคุณมากค่ะที่โพสวิธีคิดมาให้ทั้งที่ไม่สบาย น่ารักจังงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงงง

[สิริกานต์]

พี่กรไม่เห็นเข้ามาดูเลยอะ ติดนิยายจีนอยู่หรอค่ะ เข้ามาดูสักหน่อยก็ดีนะ