Number Theory Marathon

[kanakon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anarist

We know $(a,c) | a$ and $(a,c) \leq c < a$. Thus $(a,c)\leq \frac{a}{2}$.

มายังไงหรอคับ

[Anarist]

คล้ายว่าๆ factor ของอะไรก็ตามที่ไม่ใช่ตัวมันเอง อย่างมากก็เป็นครึ่งหนึ่งของมัน
ถ้าพรูฟจริงจังก็จะประมาณว่า if d|a and d<a , we have a = k d but k > 1 so $k \geq 2$ and $d = a/k \leq a/2$

[kanakon]

เข้าใจละครับขอบคุณมากๆ

[Brownian]

ขออนุญาตช่วยขุดกระทู้อีกคนนะครับ

53. จงหาจำนวนเฉพาะ p ทั้งหมดที่ทำให้ $3p|4^{p^2}+4p$

54. จงแสดงว่า เมตริกซ์ $A=\bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 2555! & 2553! & 2551! & 2549!}$ เป็น Non-singular matrix (คือ แสดงว่า $\det(A)\not=0$)

55. จงแสดงว่า จำนวน $2551^{2008}+2008^{2551}$ ไม่เป็นกำลังสองสัมบูรณ์

56. กำหนดให้ $f(x)=ax^2+bx+c$ และ p เป็นจำนวนเฉพาะคี่ซึ่งหารจำนวนเต็ม a,b,c ไม่ลงตัว จงแสดงว่า สมการ $f(x)\equiv0\pmod{p^2}$ มีจำนวนคำตอบ 0, 1, 2 หรือ p คำตอบ

[dektep]

55. $2551^{2008}+2008^{2551} \equiv 2 (mod 3)$ จึงไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

[dektep]

53. มี $p=2$ ตัวเดียวหรือเปล่าคับ

[Brownian]

53. มี $p=2$ ตัวเดียวหรือเปล่าคับ

มี $p=2$ ตัวเดียวครับ แต่ช่วยเฉลยให้ด้วยน่าจะดีครับ

[dektep]

เห็นได้ชัดว่า $p=2$ เป็นคำตอบ
ต่อไปจะพิสูจน์ว่าไม่มีคำตอบเมื่อ $p >2$
พิจารณา $p \geq 3$
ดังนั้น $(p,4)=1$
โดย Euler's theorem ; $4^{p-1} \equiv 1(mod p)$
ดังนั้น $4^{p^2-p} \equiv 1 (mod p) \rightarrow 4^{p^2} \equiv 4^p \equiv 4 (mod p)$
ดังนั้น $4^{p^2}+4p \equiv 4 (mod p)$ จะได้ว่า $p|4 \therefore$ ไม่มี $p$ ที่สอดคล้องเมื่อ $p>2$

[Brownian]

Hint #54

สำหรับเมตริกซ์ $A=[a_{ij}]_{n\times n}$ , $B=[b_{ij}]_{n\times n}$ และ สำหรับทุก $a_{ij}, b_{ij}\in\mathbb{Z}$ ถ้า $a_{ij}\equiv b_{ij}\pmod{m}$ แล้ว $\det A\equiv\det B\pmod{m}$

[Brownian]

Solution #53

สำหรับ $p>3$ จะได้ $4^{\phi (3p)}=4^{2(p-1)}\equiv 1\pmod{3p}$
$\Rightarrow (4^{2(p-1)})^{p+1}=4^{2p^2-2}\equiv 1\pmod{3p}\Rightarrow 4^{2p^2}\equiv 16\pmod{3p}$
เราต้องการ $4^{p^2}\equiv -4p\equiv -p\pmod{3p}\Rightarrow 4^{2p^2}\equiv p^2\equiv 16\pmod{3p}$
ดังนั้น จึงได้ $p^2=3pk+16 ,\exists k\in \mathbb{Z} \Rightarrow p(p-3k)=16\Rightarrow p=2$ ซึ่งขัดแย้งกับ $p>3$
เมื่อตรวจสอบแล้ว พบว่า ถ้า $p<3$ จะได้ $p=2$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

[Brownian]

จาเปิดเทอมแล้วคับ คงไม่ค่อยได้เข้ามาเล่นแล้ว เฉลยเลยละกัน

เฉลยยยยยยยยยย ข้อ 54

เราต้องการแสดงว่า $\det A\not\equiv 0\pmod{n}$ โดย n เป็นจำนวนนับอะไรก็ได้ซักตัวนึง ที่น้อยที่สุดหรือง่ายต่อการพิจาณามากที่สุด
ดูสมาชิกแถวที่ 4 ของ A จะเห็นว่า
$2549!\equiv 2551!\equiv 2553!\equiv 2555!\equiv 0\pmod{2,3,4,...,2549}$

ดังนั้น $\det \bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 2555! & 2553! & 2551! & 2549!}\equiv \det\bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 0 & 0 & 0 & 0}=0\pmod{2,3,4,...,2549}$
ดังนั้น หากเลือก $1<n\leqslant 2549$ จะเห็นว่า $\det A\equiv 0\pmod{n}$ ซึ่งไม่ได้ช่วยเราพิสูจน์ว่า $\det A\not=0$ ดังนั้น เราต้องเลือก $n>2549$
ในที่สุด เมื่อเราเลือกพิจารณา มอดุโล 2551 เราจะพบว่า
$2555!\equiv 2553!\equiv 2551!\equiv 0\pmod{2551}$
และโดย Wilson's, $2550(2549!)=2550!\equiv -1\equiv 2550\pmod{2551}\Rightarrow 2549!\equiv 1\pmod{2551}$

ดังนั้น $\det \bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 2555! & 2553! & 2551! & 2549!}\equiv \det\bmatrix{1 & -3 & 2 & (2549!)^7 \\ 4 & -1 & 2 & (2549!)^5 \\ 3 & 5 & 2 & (2549!)^3 \\ 0 & 0 & 0 & 1}$

$=a_{41}C_{41}+a_{42}C_{42}+a_{43}C_{43}+a_{44}C_{44}=C_{44}$

$=\det\bmatrix{1 & -3 & 2 \\ 4 & -1 & 2 \\ 3 & 5 & 2}=40\not\equiv 0\pmod{2551}$

ดังนั้น $\det A=2551k+40, \exists k\in\mathbb{Z}$ เพราะฉะนั้น $\det A$ ไม่มีทาง เป็น 0 ###

[RoSe-JoKer]

เอามาเพิ่มอีกข้อครับ
find all $a,b,c,d\in N\cup {0}$ such that
$2^a3^b-5^c7^d=1$

[warut_suk]

ข้อของคุณ RoSe-JoKer นั่นไล่กันให้เหนื่อยไปเลยนะครับ:

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?p=155821#155821

ลองข้อนี้ดีกว่าครับ

58.
(TUMSO 2550 รอบแรก ข้อ 24)

จงหาผลบวกของจำนวนสี่หลัก $m$ ทั้งหมดซึ่งน้อยกว่า $2007$ และมีจำนวนเต็มบวก $n<m$ ซึ่ง $m-n$ มีตัวหารบวกอย่างมาก 3 ตัว และ $mn$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

(หมายเหตุ: สำหรับคนที่ไม่รู้ว่า TUMSO คืออะไร ดูได้ที่ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3774 ครับ)

[RoSe-JoKer]

เออไม่แน่ใจนะครับเพราะว่าผมทำจนมั่วๆไปหมดแต่ผมได้ว่ามี m ที่สอดคล้องคือ $1156,1296,1369,1764,1377,1900$
ผลรวมก็ $8862$ ถ้าใช่เดี๋ยวผมเอา Solution มาลงครับ ขอให้โชคดีกับการแข่งขัน IMO นะครับพี่ warut_suk :-)

[warut_suk]

ทำได้ดีมากครับ แต่ตกคำตอบ 1600 ไป (คิดว่าน่าจะมาจากการไล่ผิดพลาดนิดหน่อย) แสดงวิธีคร่าวๆหน่อยก็ดีนะครับ คนอื่นจะได้รู้ด้วย

แต่ถ้าเป็นการสอบ TUMSO ก็คงได้คะแนน 0 นะครับ

เอาโจทย์ไปอีกสักหน่อยละกันครับ

59. จงแสดงว่ามีคู่ $(n,k)$ ของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน เป็นอนันต์คู่ ซึ่งหรม.ของ $n!+1$ และ $k!+1$ มากกว่า $1$

60. จงแสดงว่ามีคู่ $(n,k)$ ของจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน เป็นอนันต์คู่ ซึ่งหรม.ของ $n!-1$ และ $k!-1$ มากกว่า $1$

61. พิจารณาลำดับที่นิยามโดย $x_{n+1}=2x_n+3y_n, y_{n+1}=x_n+2y_n$ โดยที่ $x_1=2,y_1=1$ จงแสดงว่าสำหรับทุก $n\geq 1$ มีจำนวนเต็มบวก $K_n$ ซึ่ง $x_{2n+1}=2(K_n^2+(K_n+1)^2)$