FFTMO9

[coke]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

มาเปลี่ยนแนวกันบ้าง

1.) ให้ $x,y,z $ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 1 ซึ่ง สอดคล้องกับเงื่อนไขดังนี้
$$xy^2-y^2+4xy+4x-4y=4004$$ $$xz^2-z^2+6xz+9x-6z=1009$$
จงหาค่าของ $xyz+3xy+2xz-yz+6x-3y-2z$

2.) $a,b,c > 0 , abc=1 $ $$2(a^2+b^2+c^2)+a+b+c \geq 6+ab+bc+ca$$

1)$(y+2)^2(x-1)$=4000,$(y+2)^2(z+3)$=1000 ได้ y=2z+4
$$xyz+3xy+2xz-yz+6x-3y-2z=(x-1)(yz+2z+3y)+6x
=2(x-1)(z^2+6z+9-3)+6x$$=2006
2)$$(a^2+b^2+c^2)+a+b+c \geqslant6\sqrt{abc}=6$$,$$(a^2+b^2+c^2)\geqslant+bc+ac$$

[Pain 7th]

#435 , 436 ถูกต้องครับ !!!! ส่วนความมันส์จะมาเริ่มที่ข้อ 3,4 ครับใบ้ว่าข้อ 3 คือ (k,-k,1 ) ครับ

ส่วนอีกข้อนึงก็จะต้องสังเกตสักนิด

[passer-by]

มาเติมให้อีก 1 ข้อครับ

Tricky question !

a,b,c,p > 0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a^3b}{(3a+b)^p} \geq \sum_{cyc} \frac{a^2bc}{(2a+b+c)^p}$$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

4.) ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมนูน และ $AC$ ตัด $BD$ ที่ E แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม 4 รูป ให้ $G_1,G_2$ เป็นจุด centroid ของสามเหลี่ยม $ABE$ และ $CDE$ และ $H_1,H_2$ เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม $ADE$ กับ $BCE$ พิสูจน์ว่า $G_1G_2 \bot H_1H_2$

ให้ M,P,N,Q แบ่งครึ่ง AB, BC, CD, DA ตามลำดับ
พิสูจน์ว่า $G_1G_2 // MN$ และ $H_1H_2 // PQ$ ที่เหลือก็ไม่ยากครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

มาเติมให้อีก 1 ข้อครับ

Tricky question !

a,b,c,p > 0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a^3b}{(3a+b)^p} \geq \sum_{cyc} \frac{a^2bc}{(2a+b+c)^p}$$

ไม่เเน่ใจเลยครับ เเต่ลองเเถๆดูไปก่อน
Lemma I $$\dfrac{x}{(x+3)^p}\le \Big(\dfrac{4-p}{4^{p+1}}\Big)x+\dfrac{p}{4^{p+1}}\leftrightarrow f(x)=4(x+3)^p-4^{p+1}x\ge 0$$
เเละ ถ้า $f'(x)=0$ ได้ว่า $x=1$ ซึ่งให้ค่าต่ำสุดเป็น $0$ ทำให้อสมการซ้ายจริง
Lemma II (น่าจะดริฟได้เเต่ผม Diff ไม่เป็น = =) พืสูจน์ไม่ได้ครับ เเต่เดามา 555 $c(3a+b)^p+b(3c+a)^p+a(3b+c)^p\le \Big(\dfrac{4}{3}\Big)^p(a+b+c)^{p+1}=3\cdot 4^p$
เเละสมมุติให้ $a+b+c=3$ อสมการที่ต้องการคือ $$\frac{a^2}{c(3a+b)^p}+\frac{b^2}{a(3b+c)^p}+\frac{c^2}{b(3c+a)^p}\ge\frac{a}{(a+3)^p}+\frac{b}{(b+3)^p}+\frac{c}{(c+3)^p}$$ โดย Cauchy,Lemma I เเละ Lemma II ได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{c(3a+b)^p}\ge \frac{(a+b+c)^2}{c(3a+b)^p+b(3c+a)^p+c(3b+c)^p}\ge \frac{3}{4^p}=\sum_{cyc} \Big(\dfrac{4-p}{4^{p+1}}\Big)a+\dfrac{p}{4^{p+1}}\ge \sum_{cyc} \frac{a}{(a+3)^2}$$

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ให้ M,P,N,Q แบ่งครึ่ง AB, BC, CD, DA ตามลำดับ
พิสูจน์ว่า $G_1G_2 // MN$ และ $H_1H_2 // PQ$ ที่เหลือก็ไม่ยากครับ

อื้มมม วิธีเดียวกับพี่เลย แต่พี่ว่ามันยากตรงหา cyclic นะ เพราะมันเกิดขึ้นมากมายเลย

[passer-by]

มาเติมให้อีก 1 ข้อครับ

Tricky question !

a,b,c,p > 0 พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \frac{a^3b}{(3a+b)^p} \geq \sum_{cyc} \frac{a^2bc}{(2a+b+c)^p}$$

มันมีวิธีที่จบในไม่เกิน 2 บรรทัดครับ และไม่ต้อง diff

[Pain 7th]

#440 ผมงงอ่ะครับ ไม่เข้าใจเลย 55555555

#441 ขอดูวิธีหน่อยได้ไหมครับ ทำไม่ค่อยได้เลย

[Keehlzver]

$\frac{a^3b}{(3a+b)^p}$ ตัวเศษมี $a$ 3 ตัว $b$ 1 ตัว คูณกันได้ $a^3b$ ตัวส่วน มี $a$ 3 ตัว $b$ 1 ตัวแต่บวกกัน แล้วได้ $3a+b$ หึ้ย...มีบวก มีคูณ

ไหนมาดูฝั่งขวาบ้าง
$a^2bc$ กับ $2a+b+c$ ตัวเศษมี $a$ 2 ตัว $b,c$ อย่างละตัวคูณกัน ตัวส่วน มี $a$ 2 ตัว $b,c$ อย่างละตัวบวกกัน หึ้ย...

ผมว่ามันน่าจะทำอะไรได้

[passer-by]

ไอเดียอสมการข้อนั้น คือ พิสูจน์ $$ \frac{a^3b}{(3a+b)^p} + \frac{c^2ab}{(2c+a+b)^p} \geq \frac{2a^2bc}{(2a+b+c)^p} $$

ซึ่งใช้แค่ AM-GM ก็เอาอยู๋ครับ

[Keehlzver]

Hint เหมือนเฉลยเลยครับ หมดสนุก

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ข้อนี้ผมไม่ได้เขียนอะไรเลยในห้องสอบ (กลัวเลขข้อหน่ะครับ )

ให้ $(a,b,c)=1$

เพราะถ้า $(a,b,c)=d$

และจะได้ $(\frac{a}{d} ,\frac{b}{d} ,\frac{c}{d} )=1$

และ $\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a} = \frac{\frac{a}{d} }{\frac{b}{d} } +\frac{\frac{b}{d} }{\frac{c}{d} } +\frac{\frac{c}{d} }{\frac{a}{d} } =k$

จัดรูปพีชคณิต จะได้

$a^2c+b^2a+c^b=kabc$

ให้ $p^\beta ||b$

จะได้ว่า $p^\beta | RHS$ ดังนั้น $p^\beta |LHS$

เห็นได้ชัดว่า $p^\beta |b^2a+c^2b$ ดังนั้น จะได้

$p^\beta |a^2c$

เนื่องจาก หรม. ทั้งหมดเป็น 1 $p|a$ และ $p|c$ พร้อมกันไม่ได้

แยกกรณีได้แบบนี้ครับ ^^

Case I $p^b|a$

ให้ $p^\alpha || a$

จะได้ $\beta \leqslant \alpha $

ให้ $b=p^\beta b' และ a=p^\alpha a'$

พิจารณากำลังสูงสุดที่ p หารทั้งสองข้างลงตัว

จะได้ $min ( p^{2\alpha },p^{2\beta +\alpha },p^\beta )=p^{\alpha +\beta }$

ขอเวลาอีกครับ = =*

มาต่อทีตครับรอชมอยู่
แล้วเรขาข้อ10กว่าทำไงหรอครับ

[Thgx0312555]

hint (a,b,c)=1
$p^{\alpha}||a,p^{\beta}||b,p^0||c$
แยกเคส
$\alpha \ge \beta$
$\alpha < \beta$
พิจารณาว่า
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ เป็นจำนวนเต็มหรือไม่