สสวท.คณิตศาสตร์ 2550

[CmKaN]

สุดท้ายครับ
ข้อ25. กำหนดให้$a_{1},a_{2},a_{3},...$ เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ $a_{1}=a_{2}=a_{3}=1,a_{4}=2$ สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ $a_{n}a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3} \not= 1$ และ
$a_{n}a_{n+1}a_{n+2}a_{n+3}a_{n+4}=a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+4}$
ค่าของ $\sum_{k = 1}^{100} a_{k}$เท่ากับ ...

อืมเห็นด้วยครับข้อสอบปีนี้คล้ายๆกับปีที่แล้ว แต่ผมก็ยังทำไม่ค่อยได้
ปล.ช่วยกันเฉลยหน่อยน่ะครับ

[nooonuii]

ตอนที่ 2 ข้อ 7 ครับ

$a_{n+1}=2a_n-7$

$=2(2a_{n-1}-7)-7 = 2^2a_{n-1}-(2^2-1)\cdot 7$

$=\cdots$

$=2^na_1-(2^n-1)\cdot 7$

$=10\cdot 2^n + 7$

ดังนั้น $a_n=5\cdot 2^n+7$

[bell18]

ตอนที่2 ข้อ2. ข้อนี้ก็เคยเห็นในข้อสอบคัดโอลิมปิกของม.ต้นเมื่อต้นปี50นี้เองครับ ซึ่งข้อนี้ตอบ 2
แล้วก็ข้อนี้ยังเป็นข้อสอบ American High School Mathematics Examinations (AHSME) ปี1983 ด้วยครับ
ตอนที่2 ข้อ4. ข้อนี้ลองa=xy และ b=x+y จะได้สมการ a+b=71 และ ab=880
แก้สมการได้ a=55,16 ส่วน b=16,55 จากนั้นจะได้ $x^2+y^2=146, 2993$

[CmKaN]

ผมทำไม่ค่อยได้เลยครับคิดไม่ค่อยออกสงสัยจะไม่ติด
ทำผิด

[SPLASH]

ช่ายเลยมั้งครับ

[Necron]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CmKaN

ผมทำไม่ค่อยได้เลยครับคิดไม่ค่อยออกสงสัยจะไม่ติด

ข้อ22น่ะครับ
$\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}-y^{2})^{2}}{x^{4}-y^{4}}=1$
$2(x^{4}+y^{4})=x^{4}-y^{4}$
$x^{4}=-3y^{4}$
$x^{8}=9y^{8}$
จากนั้นแทน$x^{8}=9y^{8}$ .นสมการจะได้คำตอบ

แต่ผมคิดอย่างงี้ครับ2ตัวเป็นส่วนกลับกันและกันสมมติให้เป็นa
จะได้ว่า a+(1/a)=1
แก้สมการจะไม่มีค่าaในระบบจำนวนจริงอีกอย่าง$x^{4}=-3y^{4}$ อันนี้ฝั่งนึงเป็นบวกอีฝั่งเป็นลบแน่นอนห้ามยกกำลัง2ครับ

[SPLASH]

อืม ข้อ 4 คำตอบเกินอ่ะป่าว x,y เป็นจำนวนเต็มบวก

[nooonuii]

ตอนที่ 1 ข้อ 9

$a^4+b^4+c^4+d^4=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-\Big[(a^2+b^2)(c^2+d^2)+(a^2+c^2)(b^2+d^2)+(a^2+d^2)(b^2+c^2)\Big]=39$

[SPLASH]

ข้อ 22 นี่น่าจะไม่มีคำตอบในจำนวนจริงน้า

[SPLASH]

ข้อ7 เขาเทียบ พจน์ที่ n กับ พจน์ที่ n มิใช่หรอครับ

[nooonuii]

ตอนที่ 1 ข้อ 4 เห็นมาหลายรอบแล้วครับ เปลี่ยนแค่ตัวเลขนิดหน่อย

โดยขั้นตอนวิธีการหาร

ให้ $g(x^{12})=q(x)g(x)+r(x)$ เมื่อ deg$r(x)\leq 4$

$g(x)$ มีรากที่ต่างกัน $5$ ราก คือ $\omega,\omega^2,...,\omega^5$

เมื่อ $\omega$ เป็นรากที่หกของ $1$ แต่ไม่ใช่ $1$

แทนรากทั้งหมดลงไปในสมการข้างต้นจะได้

$r(\omega^k)=g(1)=6$ ทุกค่า $k=1,2,...,5$

ดังนั้น $r(x)-6$ เป็นพหุนามกำลังไม่เกินสี่ที่มีรากที่ต่างกันถึงห้าตัว

โดยทฤษฎีบทหลักมูลพีชคณิต $r(x)-6$ ต้องเป็นพหุนามศูนย์

เพราะฉะนั้น $r(x)=6$ นั่นคือ $g(x^{12})$ หาร $g(x)$ เหลือเศษ $6$

[SPLASH]

ข้อสอบปีนี้พิเลนจนทำให้ผมทำข้อสอบไม่ถูกเลยครับ

[SPLASH]

ข้อ 14 ใช้โคชีเอาครับ 60/13

[Art_ninja]

ข้อที่ 25 (มาเฉลยข้อสุดท้ายเลย ) ไปสอบนี่คิดได้ข้อนี้ข้อแรกเลยครับ
solutionิ
ค่อยๆคิดไปจะได้ $a_1=1,a_2=1,a_3=1,a_4=2$
หา $a_5$ ไ้ด้โดย $a_1a_2a_3a_4a_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ จะได้ว่า
$2a_5=a_5+5$ $\therefore a_5=5$
ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า
$a_1=1$
$a_2=1$
$a_3=1$
$a_4=2$
$a_5=5$
$a_6=1$
$a_7=1$
$a_8=1$
$a_9=2$
$a_{10}=5 ...$
ดังนั้น $\sum_{k = 1}^{100}a_k = 10(20)=200$
...................ข้อสอบปีนี้ยากกว่าปีก่อนนิดนึง...........................
ขอชื่นชมคนออก ว่ามีศิลปะอย่างยิ่ง

[nooonuii]

ตอนที่ 2 ข้อ 5

$f(n)=\sqrt[3]{n}-\sqrt[3]{n-1}$

ดังนั้นตอบ $\sqrt[3]{1000}=10$