ข้อสอบ IJSO ครั้งที่ 5 ม.ต้น

[yellow]

ข้อ 12

$\frac{1}{2} a (BC) = \frac{1}{2} b (AC) = \frac{1}{2} c (AB)$

จะได้ $b = \frac{a(BC)}{(AC)} \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{(AC)}{a(BC)}$

$c = \frac{a(BC)}{(AB)} \Rightarrow \frac{1}{c} = \frac{(AB)}{a(BC)}$

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{(AC + AB)}{a(BC)}$

เนื่องจากเป็นรูปสามเหลี่ยม ดังนั้น $AC + AB > BC$

นั่นคือ $\frac{(AC + AB)}{a(BC)} > \frac{1}{a}$

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} > \frac{1}{a}$

[yellow]

ข้อ 4

$A=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+...$

$B=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...$

$B=\frac{1}{2^2} [ 1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...]$

$4B = A + B$

$A = 3B$

[yellow]

ข้อ 20

ให้พิรามิดมีความยาวทุกด้านเป็น a

ความสูง = $\frac{\sqrt{3}a }{2}$

พื้นที่ฐาน = $\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}a }{2} = \frac{\sqrt{3}a^2 }{4}$

พื้นที่ผิวข้าง = $ 3 \times \frac{\sqrt{3}a^2 }{4} = \frac{3 \sqrt{3} a^2}{4} $

ปริมาตร = $\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}a^2 }{4} \times \frac{\sqrt{3}a }{2} = \frac{a^3}{8} $

โจทย์ให้ตัวเลข พื้นที่ผิวข้าง = ปริมาตร

$\frac{3 \sqrt{3}a^2 }{4} = \frac{a^3}{8} $

$ a = 6\sqrt{3}$

ดังนั้นปริมาตรเท่ากับ

$ \frac{(6\sqrt{3})^3}{8} $

$ \frac{648\sqrt{3}}{8} $

$81\sqrt{3}$