ดูให้ด้วยครับบบบ

[lek_cha]

ทำไม


${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\frac{n(n+1)}{2}\frac{x^2}{n^2}\dots>\frac{x^2}{4} and \frac{x^3}{27}$


ช่วยดูให้ด้วยนะครับบ ว่าทำไมถึงมากกว่า

[คุณชายน้อย]

ดูเฉลยของ nooonuii เองก็แล้วกันนะครับ.... รบกวน Screen คำถามด้วย ไม่อย่างนั้นคนอ่าน คนตอบ อาจจะเบื่อที่จะช่วยตอบนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek_cha

ทำไม


${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\frac{n(n+1)}{2}\frac{x^2}{n^2}\dots>\frac{x^2}{4} \,and\, \frac{x^3}{27}$
ช่วยดูให้ด้วยนะครับบ ว่าทำไมถึงมากกว่า

ถ้า $x\geq 0$ และ $n\geq 3$ จะเป็นจริงครับ

${(1+ \frac{x}{n})}^n = 1+x+\dfrac{n(n-1)}{2}\dfrac{x^2}{n^2}+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}\dfrac{x^3}{n^3}+\cdots$

เนื่องจาก $x\geq 0$ จึงเพียงพอที่จะแสดงว่า

$\dfrac{n(n-1)x^2}{2n^2}\geq \dfrac{x^2}{4}$

$\dfrac{n(n-1)(n-2)x^3}{6n^3}\geq \dfrac{x^3}{27}$

ซึ่งก็เำพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า

$\dfrac{n(n-1)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{4}$

$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\geq \dfrac{1}{27}$

แต่

$\dfrac{n(n-1)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{4}$

สมมูลกับ

$\dfrac{n-1}{n}\geq \dfrac{1}{2}$

$2n-2\geq n$

$n-2\geq 0$

$n\geq 2$

และ

$\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6n^3}\geq \dfrac{1}{27}$

สมมูลกับ

$\dfrac{(n-1)(n-2)}{2n^2}\geq \dfrac{1}{9}$

$9(n-1)(n-2)\geq 2n^2$

$9n^2-27n+18\geq 2n^2$

$7n^2-27n+18\geq 0$

$(n-3)(7n-6)\geq 0$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจริงจากข้อสมมติ

[คุณชายน้อย]

nooonuii เฉลยได้ดี แต่อย่าลืมไปนะครับโจทย์เป็น Binomial ดังนั้น n เป็นจำนวนเต็มบวก เงื่อนไขการมีคำตอบของ nooonuii ยังมี Error อยู่ครับ ลองดู Source เผื่อมี Idea ในการ Simplify โจทย์

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

nooonuii เฉลยได้ดี แต่อย่าลืมไปนะครับโจทย์เป็น Binomial ดังนั้น n เป็นจำนวนเต็มบวก เงื่อนไขการมีคำตอบของ nooonuii ยังมี Error อยู่ครับ ลองดู Source เผื่อมี Idea ในการ Simplify โจทย์

binomial ตัวยกกำลังเป็นจำนวนจริงก็ได้ครับ และเป็นได้แม้กระทั่งจำนวนเชิงซ้อน

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

binomial ตัวยกกำลังเป็นจำนวนจริงก็ได้ครับ และเป็นได้แม้กระทั่งจำนวนเชิงซ้อน

ปล. (ถ้าจำไม่ผิดนะครับ ไม่ได้ใช้มานาน...) ถูกต้องครับผม แต่ยกเว้น จำนวนเต็มลบนะครับ ... เพราะมีการใช้ฟังก์ชัน factorial มาคำนวน Combination ของ Binomial ในสัมประสิทธิ์ซึ่งเกิดจากสูตร
$$(n-1)! = \Gamma (n) = \int_{0}^{\infty}\,{t}^{n-1} {e}^{-t} dt $$
OK... โจทย์กระจายพจน์ที่ 3 ผิด และ n เป็นจำนวนทุกจำนวน เพราะ $n! = \infty i = Complex Infinity $ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มลบ จึงทำให้เงื่อนไขเป็นจริงอยู่

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

ปล. (ถ้าจำไม่ผิดนะครับ ไม่ได้ใช้มานาน...) ถูกต้องครับผม แต่ยกเว้น จำนวนเต็มลบนะครับ ... เพราะมีการใช้ฟังก์ชัน factorial มาคำนวน Combination ของ Binomial ในสัมประสิทธิ์ซึ่งเกิดจากสูตร
$$(n-1)! = \Gamma (n) = \int_{0}^{\infty}\,{t}^{n-1} {e}^{-t} dt $$

อันนี้เป็นนิยามของ factorial ครับ

ลองดูนิยาม binomial ที่สร้างโดยนิวตันได้ที่นี่ครับ

Binomial series

[คุณชายน้อย]

ขอบคุณครับ... แต่อย่าลืมนะครับ Combination $ \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! r!}$ ซึ่งมีการคำนวณฟังก์ชันแฟคทอเรียล โดยใช้ แกมม่าฟังก์ชัน $ \Gamma (n)$ และ $ \Gamma (n)$ หาค่าไม่ได้ที่ n = -1,-2,-3,... นะครับ แต่ถ้าขยาย Domain ออกไปที่ Complex จะได้คำตอบของ
$$(-1)! = (-2)! = (-3)! = ... = Complex Infinity $$
ดูเพิ่มเติม..... ผมว่าเราเข้าใจเนื้องานในกระทู้นี้ดีทั้งคู่ กลัวว่าคนอื่นจะอึดอัด... เพราะจะลงลึก... จะสับสนเสียเปล่า OK.... นะครับ (Enough it?)

[nooonuii]

สิ่งที่ผมอยากจะสื่อให้คุณชายเข้าใจคือ generalization ของ factorial กับ binomial นั้นไม่เหมือนกันครับ

generalization ของ factorial คือ Gamma function ตามที่คุณชายเข้าใจครับ

แต่ generalization ของ binomial coefficient ที่นิยามโดยนิวตันนั้นแตกต่างออกไป

ผมขอยกข้อความจาก wikipedia มาอ้างนะครับ

$$(1+x)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k} x^k $$

ซึ่งเรานิยาม

$$\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!} $$

จะเห็นว่าจากนิยามเราสามารถให้ $\alpha$ เป็นจำนวนจริง(หรือจำนวนเชิงซ้อน)ใดๆ

แต่ $k$ ต้องให้เป็น จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ซึ่งสามารถใช้ factorial แบบธรรมดาได้

เราจึงไม่จำเป็นต้องใช้ gamma function แต่อย่างใด

ขออภัยเจ้าของกระทู้ที่ลากยาวมาไกลขนาดนี้ครับ

[คุณชายน้อย]

ขอบคุณครับ.... ความเป็น generalization มันไม่เหมือนกันจริง ๆ ผมนั่งคิดอยู่ตั้งนาน ผมสับสนอะไร!!! เช่นเมื่อก่อน 0! = 1 เป็นทฤษฎีหรือนิยาม แน่นอนคำตอบก็คือนิยาม (นั่นมันตอนเด็ก ๆ) แต่พอมาหลัง ๆ generalization งานบ่อย ๆ ก็เลยบอกมันว่าเป็นทฤษฎีเฉยเลย เพราะเป็นกรณีหนึ่งของแกมม่าฟังก์ชันเมื่อ n = 1 เช่นเดียวกันผมไป generalization ของ Binomial ก่อนที่จะไปดูนิยามของ Binomial ที่แท้จริง ... ก็เลยติดยึดกับ factorial ครับ <---- น้อง ๆ ดูไว้นะครับ เป็นตัวอย่างการคิดที่ไม่ดีจริง ๆ .............

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ คุณชายน้อย

ความเป็น generalization มันไม่เหมือนกันจริง ๆ

ผมก็เคยคิดแบบเดียวกับคุณชายนี่แหละครับ

ผมว่าไม่ใช่เรื่องผิดพลาดแต่อย่างใด

เพราะเราคุ้นเคยว่า

$$\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

ก็เลยคิดไปทาง factorial ซึ่งก็ make sense

แต่ newton กลับมองไปอีกแบบ

ซึ่งก็ต้องยอมรับว่าแบบของ newton ใช้งานได้ดีกว่า

และตรงตามจุดประสงค์การใช้งานคือ

generalization ของ ทฤษฎีบททวินาม

____________________________________________

ผมเคยพยายาม generalize factorial function ด้วย

แต่ไม่ได้เป็น Gamma function อย่างที่เขาใช้กันนะครับ

คิดแบบจินตนาการไปเรื่อย ตามกรอบความรู้ที่เรามี

แต่บางครั้งเราต้องกลับมามองที่จุดประสงค์การใช้งานของมันด้วย

ซึ่งสิ่งนี้อาจจะทำให้สิ่งที่เราฝันสลายไปในบัดดล