Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 22 กันยายน 2016, 10:46
B บ ....'s Avatar
B บ .... B บ .... ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 ตุลาคม 2008
ข้อความ: 251
B บ .... is on a distinguished road
Default Analytic number theory : estimate summation

นิยาม * (Dirichlet convolution) : $f*g (n) = \sum_{d | n} f(d)g(\frac{n}{d})$.
ให้ $\mu, \phi, I$ แทน ฟังก์ชันโมเบียส (Mobius function), ออยเลอร์-ฟี ฟังก์ชัน และฟังก์ชันเอกลักษณ์ (identity) ตามลำดับ

ต้องการจะหาค่าประมาณของ $$\sum_{n \leq x} \frac{1}{\phi(n)} = O(\log x)$$ โดยทำตามขั้นตอนประมาณนี้ครับ
($f(x) = O(g(x))$ ถ้ามี $x_0, M$ ซึ่ง $|f(x)| \leq Mg(x)$ for all $x \geq x_0$)

1) แสดงว่า $$\frac{1}{\phi} = \frac{1}{I} * f,$$ $f := \frac{\mu^2}{I\phi}$
ซึ่งแค่คำนวณปกติ ไม่มีปัญหาครับ

2) $\sum_{n=1}^\infty f(n) = O(1)$, นั่นคือ อนุกรมลู่เข้า
ขั้นตอนนี้ก็ทำได้แล้วครับ

3) สำหรับ $n \geq 2,$ $$\sum_{n \leq x} \frac{1}{\phi(n)} = O(\log x).$$
ติดตรงขั้นตอนนี้ครับ คิดว่าน่าจะต้องใช้ข้อมูลจาก 1), 2) เนื่องจาก 1) นั้น $$\frac{1}{\phi} = \frac{1}{I} * f$$ การประมาณน่าจะใช้ Dirichlet hyperbola method (http://planetmath.org/dirichlethyperbolamethod)
ลองทำตามตัวอย่าง แต่ไม่ค่อยเข้าใจ ติดทำต่อไม่ได้ครับ

พอมีใครให้ความช่วยเหลือได้มั้บครับ

ขอบคุณล่วงหน้าครับ
__________________
เรื่อยๆ เฉื่อยๆ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 05 พฤศจิกายน 2016, 17:08
kongp kongp ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 05 พฤษภาคม 2006
ข้อความ: 1,127
kongp is on a distinguished road
Default

แล้วแต่ใช้ทฤษฏีอะไรเป็นตัวเชื่อมต่อ probabillity หรือ Analytics Geometry หรือ เซต คนก็เขียนบทความมาแล้วหลายพันหน้าต่อเล่ม
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ช่วย หน่อยครับ โจทย์Number Theory สอวน ณัฐพัชร์ ชุมช่วย(อาร์ม) ทฤษฎีจำนวน 7 06 พฤษภาคม 2015 17:32
number theory Anubis ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 1 20 สิงหาคม 2013 23:13
อยากทราบแขนงของวิชา NUMBER THEORY ครับ pure_mathja ทฤษฎีจำนวน 11 03 ตุลาคม 2008 21:24
ช่วยคิดหน่อยครับ เกี่ยวกับ Number Theory kanji ทฤษฎีจำนวน 0 08 กันยายน 2006 18:22

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 21:33


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha