ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[poper]

ขอบคุณ คุณจูกัดเหลียงครับ แต่วิธีทำสั้นจัง กลัวน้องๆที่มาอ่านแล้วจะไม่เข้าใจ
ผมขอลงวิธีเต็มล่ะกันนะครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

3. ถ้า $(x+y+z)\bigg(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\bigg)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(x+y)(y+z)(z+x)=0$

$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1$
$(x+y+z)(\frac{xy+yz+zx}{xyz})=1$
$(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=0$
$x^2(y+z)+(y+z)^2x+yz(y+z)=0$
$(x+y)(y+z)(z+x)=0$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

4.ถ้า $a+b+c=s$ จงพิสูจน์ว่า $(s-3a)^3+(s-3b)^3+(s-3c)^3=3(s-3a)(s-3b)(s-3c)$

ให้ $x=s-3a\ \ ,y=s-3b\ \ ,z=s-3c$
จะได้ว่า $x+y+z=3s-3(a+b+c)=3s-3s=0$
ดังนั้นจะได้ว่า $x^3+y^3+z^3=3xyz$
$\therefore (s-3a)^3+(s-3b)^3+(s-3c)^3=3(s-3a)(s-3b)(s-3c)$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

5.ถ้า $a+b+c=2s$ จงพิสูจน์ว่า
5.1 $s^2+s(s-a)+s(s-b)+s(s-c)=2s^2$
5.2 $a^2+b^2+c^2=s^2+(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2$

5.1 ตามที่คุณจูกัดเหลียงได้เฉลยไว้ครับ
5.2 $s^2+(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2=4s^2-2s(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)$
$=4s^2-4s^2+(a^2+b^2+c^2)$
$=a^2+b^2+c^2$

[HL~arc-en-ciel]

ขอบคุณมากครับ

[poper]

มาต่อครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

6. ถ้า $a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}=0$ จงแสดงว่า$(a+b+c)^3-27abc=0$

ให้ $x=a^{\frac{1}{3}}\ \ ,y=b^{\frac{1}{3}}\ \ ,z=c^{\frac{1}{3}}$
จะได้ว่า $x+y+z=0$
ดังนั้น $x^3+y^3+z^3=3xyz$
$a+b+c=3(abc)^{\frac{1}{3}}$
$(a+b+c)^3=27abc$
$(a+b+c)^3-27abc=0$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

7. ถ้า $x=b+c-a\ \ ,y=c+a-b\ \ ,z=a+b-c$ จงแสดงว่า$$x^3+y^3+z^3-3xyz=3(a^3+b^3+c^3-3abc)$$

ข้อนี้ผมใช้เอกลักษณ์ที่พิสูจน์ไปแล้วใน โจทย์ปัญหาข้อ 1.2 ครับ (เห็นว่าเหมือนกันพอดี) คือ
$$(a+b+c)^3-(a+b-c)^3-(c+a-b)^3-(b+c-a)^3=24abc$$ เราก็จะได้ว่า
$(a+b-c)^3+(c+a-b)^3+(b+c-a)^3=(a+b+c)^3-24abc$
จากโจทย์ ทำให้เราได้ว่า
$x^3+y^3+z^3=(a+b+c)^3-24abc$-----------------(1)
ทีนี้ข้างซ้ายจะเหลือตัวที่ให้คิดคือ $3xyz$ ผมกระจายเอาตรงๆเลยครับ
$$xyz=(b+c-a)[a-(b-c)][a+(b-c)]=[(b+c)-a][a^2-(b-c)^2]$$
$$=(b+c)a^2-(b+c)(b-c)^2-a^3+a(b-c)^2$$
$$=(b+c)a^2+a(b-c)^2+(-b^3+bc(b+c)-c^3)-a^3$$
$$=-(a^3+b^3+c^3)+[(b+c)a^2+a(b+c)^2+bc(b+c)-4abc]$$
$$=-(a^3+b^3+c^3)+(b+c)(a+c)(a+b)-4abc$$
ดังนั้น เราจะได้
$3xyz=-3(a^3+b^3+c^3)+3(b+c)(a+c)(a+b)-12abc$
และเนื่องจาก $3(b+c)(a+c)(a+b)=(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)$
$3xyz=(a+b+c)^3-4(a^3+b^3+c^3)-12abc$------------(2)
สุดท้ายครับ จาก (1) และ (2) เราก็จะได้ว่า
$$x^3+y^3+z^3-3xyz=4(a^3+b^3+c^3)-12abc=4(a^3+b^3+c^3-3abc)$$
คำตอบไม่ตรงกับโจทย์อ่ะครับ ผมทำผิดตรงไหนรึเปล่าครับนี่ หรือว่าโจทย์ผิด

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

8.1 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$

แค่พิสูจน์ว่า $\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d} =\dfrac{a+c}{b+d} $ ก็เพียงพอต่อการพิสูจน์สมการได้แล้วครับ

Proof:: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} $
$ad=bc$
$ab+ad = ba+bc$

ดึงตัวร่วม-ย้ายข้าง - ได้ตามข้างบนครับ

[poper]

ขอบคุณคุณ Thgx0312555 ครับ
ผมขอเสนอวิธีที่เห็นชัดเจนเลยละกันครับ
ให้ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=k$
จะได้ว่า $a=bk\ \,c=dk\ \,e=fk$
$$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{bk+dk+fk}{b+d+k}=\frac{k(b+d+f)}{b+d+f}=k$$
ดังนั้น $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$
ในทำนองเดียวกัน ข้อ 8.2 ก็จะได้แบบนี้ครับ
$$\frac{\sqrt{a^2+c^2+e^2}}{\sqrt{b^2+d^2+f^2}}=\frac{\sqrt{b^2k^2+d^2k^2+f^2k^2}}{\sqrt{b^2+d^2+f^2}}=\frac{k\sqrt{b^2+d^2+f^2} }{\sqrt{b^2+d^2+f^2}}=k$$
ดังนั้น $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{\sqrt{a^2+c^2+e^2}}{\sqrt{b^2+d^2+f^2}}$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

9. ถ้า $a^3+b^3+c^3=3abc$ จงพิสูจน์ว่า $a+b+c=0$ หรือ $a=b=c$

ข้อ 9 ไม่มีคนทำเลย เริ่มให้ครับ

hint

Proof: สมมติดังโจทย์

พิจารณา
$$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
ฺแต่จากโจทย์ ... แทนค่า+ดึงตัว...

[Thgx0312555]

ไม่มีคนทำเฉลยเลยละครับ

solution

$(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) = a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$$ = 3abc+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
$$ = [abc+ab(a+b)]+[abc+bc(b+c)]+[abc+ca(c+a)]$$
$$ = (ab+bc+ca)(a+b+c)$$

$\therefore (a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(a+b+c) = 0$
$$\dfrac{1}{2} \times [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2](a+b+c)=0$$

$$a=b=c \bigvee a+b+c=0$$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

11. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $a_1+a_2+...+a_n=\frac{ns}{2}$ แล้ว
$$(s-a_1)^2+(s-a_2)^2+...+(s-a_n)^2=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$$

$$(s-a_1)^2+(s-a_2)^2+...+(s-a_n)^2=ns^2-2s(a_1+a_2+...+a_n)+(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$$
$$=ns^2-2s(\frac{ns}{2})+(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)$$ $$=ns^2-ns^2+(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)=a_1^2+a_2^2+...+a_n^2$$

ผมติดข้อ 10 อยู่อ่ะครับ คิดแล้วแค่เกือบจะได้แต่มันไม่ได้
ไม่ทราบเหมือนกันว่าโจทย์ผิดหรือไม่(เท่าที่ทำมาเจอโจทย์ผิดไปแล้วเยอะเหมือนกันครับ)
รบกวนผู้ใจดีช่วยทีครับ
ปล: ขอบคุณคุณ Thgx0312555 สำหรับข้อ 9 ครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

10. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว
$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$$

เป็นเพราะว่าพิมพ์เทอมสุดท้ายทางซ้ายมือผิดหรือเปล่าครับ ถึงได้แค่เฉียดๆ

Hint: $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}\right)$

ลองเอา $1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}$ บวกเข้าไป แล้วลบออก

[poper]

ผมก็ว่างั้นอ่ะครับ โจทย์น่าจะเป็น $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$$ ถ้าใช่ก็เป็นตามที่ท่าน nooonuii แนะนำครับ
$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2n})-(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n})$$ $$=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$$
ขอบคุณท่าน nooonuii ที่ช่วย confirm ว่าโจทย์ผิดครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

12. สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ กำหนดให้ $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ จงพิสูจน์ว่า $$nS_n=n+\bigg(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1}\bigg)$$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

แล้วเราก็มาถึงข้อสุดท้ายของชุดนี้จนได้ครับ

$$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$
$$nS_n=n+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+...+\frac{n}{n-1}+\frac{n}{n}$$
$$=\bigg[(\frac{n}{1}-\frac{1}{1})+(\frac{n}{2}-\frac{2}{2})+...+(\frac{n}{n-1}-\frac{n-1}{n-1})+(\frac{n}{n}-\frac{n}{n})\bigg]+n$$ $$=n+(\frac{n-1}{1}+\frac{n-2}{2}+...+\frac{2}{n-2}+\frac{1}{n-1})$$

[poper]

ขอลงโจทย์ต่อเลยนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.5
1. จงใช้สมบัติความสมมาตรแก้โจทย์ปัญหาในข้อต่อไปนี้
1.1 จงพิสูจน์ว่าจำนวนตัวหารของจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
1.2 จงคำนวณระยะทางสั้นที่สุดในระนาบ จากจุดพิกัด $(3,5)$ ไปยังจุดพิกัด $(8,2)$ โดยที่เส้นทางนั้นจะต้องผ่าน หรือสัมผัสแกน $x$ และแกน $y$
2. จงใช้ความสมมาตรของตัวแปรในสมการหรือระบบสมการต่อไปนี้ เข้าช่วยลดความยุ่งยากในการหารากของสมการหรือระบบสมการนั้น
2.1 จงหาค่าน้อยสุดของนิพจน์ $x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2$ ถ้า $x,y$ และ $z$ เป็นจำนวนจริงซึ่งสอดคล้องระบบสมการ
$$x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2=y^2+(1-y-z)^2+(1-z)^2=z^2+(1-z-x)^2+(1-x)^2$$
2.2 จงหารากของระบบสมการ \(\cases{2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=&6\\x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=&12\\x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=&24\\x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=&48\\x_1+x_2+x_3+ x_4+2x_5&=&96}\)
2.3 ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าระบบสมการต่อไปนี้สมมูลกัน
\(\cases{a^2+b^2&=&2\\c^2+d^2&=&2\\ac&=&bd}\) $\ \ \ $ และ $\ \ \ $ \(\cases{a^2+c^2&=&2\\b^2+d^2&=&2\\ab&=&cd}\)
3. จงใช้ความไม่แปรเปลี่ยนของความสมมาตรแก้โจทย์ปัญหาในข้อต่อไปนี้
3.1ให้ $\{a_1,a_2,...,a_n\}=\{1,2,...,n\}$ นั่นคือ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นการจัดเรียงใดๆของจำนวน $1,2,...,n$ จงแสดงว่าผลคูณ $(a_1-1)(a_2-2)((a_3-3)...(a_n-n)$ เป็นจำนวนเต็มคู่ถ้า $n$ เป็นจำนวนเต็มคี่
3.2 จงพิสูจน์ว่าเศษของเศษส่วนอย่างต่ำซึ่งเป็นผลบวกของส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกเรียงกัน $n$ จำนวนใดๆจะเป็นจำนวนคี่
3.3 เราเคยพิสูจน์มาแล้วว่า "ผลคูณของจำนวนเต็มต่อเนื่องกัน $4$ จำนวน มีค่าน้อยกว่ากำลังสองสมบูรณ์อยู่ $1$" และจำนวนเต็มต่อเนื่องกันก็เป็นสมาชิกของลำดับเลขคณิต ท่านจงกล่าวเป็นทฤษฎีบทในลักษณะสมมาตรกับความจริงของจำนวนเต็มต่อเนื่องกันดังกล่าวข้างต้นกับสมาชิกในลำดับเลขคณิตใดๆ พร้อมทั้งพิสูจน์ให้เห็นจริง
3.4 จงหาค่าของ $\sqrt{(3)(8)(13)(18)+625}$
4. สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ $1$ แนบในวงกลมหนึ่งซึ่งแนบในสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ $2$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองรูปนี้
5. Ptolemy's Theorem: ผลบวกของผลคูณของความยาวด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมจะเท่ากับผลคูณของความยาวเส้นทะแยงมุมทั้งสองของสี่เหลี่ยมนั้น นั่นคือ
ถ้าสี่เหลี่ยม $ABCD$ แนบในวงกลมแล้ว $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$
6. Wilson's Theorem: ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว $p$ จะหาร $(p-1)!+1$ ลงตัว