รวมโจทย์ยาก

[ไซโคลน]

1.จงหาค่าxทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2+2}=\frac{1}{x}$
2.จงหาผลสำเร็จของ $\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+...$
3.ให้a,b,cเป็นจำนวนจริง โดยที่$b\not=c$และxเป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ$\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}+\sqrt{x+c}=\sqrt{x+a+b-c}$จงหาค่าของ$\frac{(x+a)^{2}+a+4c}{x+a+c}$
4.จงหาคู่อันดับ(x,y)ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับสมการ$x(x+2)(x+8)=3^y$
5.จงหาจำนวนเต็มบวกx,y,zทั้งหมดซึ่ง $x \geqslant y \geqslant z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ$x+y+z+xyz=xy+yz+zx+2$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

5.จงหาจำนวนเต็มบวกx,y,zทั้งหมดซึ่ง $x \geqslant y \geqslant z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ$x+y+z+xyz=xy+yz+zx+2$

ข้อ 5 ผมจัดรูปไปมาได้

$(x-1)(y-1)(z-1) = 3$
$x \geqslant y\geqslant z$

$x=4 ,y=2, z = 2$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ไซโคลน

1.จงหาค่าxทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^2+2}=\frac{1}{x}$
2.จงหาผลสำเร็จของ $\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+...$
3.ให้a,b,cเป็นจำนวนจริง โดยที่$b\not=c$และxเป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ$\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}+\sqrt{x+c}=\sqrt{x+a+b-c}$จงหาค่าของ$\frac{(x+a)^{2}+a+4c}{x+a+c}$
4.จงหาคู่อันดับ(x,y)ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับสมการ$x(x+2)(x+8)=3^y$
5.จงหาจำนวนเต็มบวกx,y,zทั้งหมดซึ่ง $x \geqslant y \geqslant z$ ซึ่งสอดคล้องกับสมการ$x+y+z+xyz=xy+yz+zx+2$

Hint:

No. 1

เริ่มจากสมการนี้

$\dfrac{1}{x^2+2}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}$

อีกสองบรรทัดจบ

No. 2

พจน์ทั่วไปคือ

$\dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$

ลองเล่นแร่แปรธาตุเทอมนี้ให้กลายเป็น

$\dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}$

No. 3

อย่าบอกนะว่าจะยกกำลังสองทั้งสองข้าง

ถ้าคิดจะทำแบบนี้น่ะคิดถูกแล้ว แต่ทำกับสมการนี้ดีกว่านะ

$\sqrt{x+a}+\sqrt{x+b}=\sqrt{x+a+b-c}-\sqrt{x+c}$

No. 4

สังเกตว่า $x+2=3^a,x+8=3^b$ บาง $a,b$

เป็นอย่างอื่นไม่ได้เพราะข้างขวาเป็นกำลังของ $3$

แต่ $(x+2,x+8)=(x+2,x+2+6)=(x+2,6)\in\{1,2,3,6\}$

ซึ่งจะทำให้ได้ว่า $(x+2,x+8)\in\{1,3\}$ เท่านั้นเพราะทั้งคู่เป็นกำลังของ $3$ อยู่

แต่ลองคิดดูว่า $1$ น่ะเป็นไปไม่ได้ ก็เหลือแค่ $3$ แล้วล่ะทีนี้

แก้สมการดูจะได้คำตอบสวยๆมาชุดนึง

No. 5

ถ้ายังไม่รู้จักเอกลักษณ์นี้ก็จะได้รู้จักแล้วล่ะ ข้อนี้บรรทัดเดียวจบ (จริงๆนะ )

$(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1$

[Siren-Of-Step]

ข้อ 1

$x = 2$

[nong_jae]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

ข้อ 5 ผมจัดรูปไปมาได้

$(x-1)(y-1)(z-1) = 3$
$x \geqslant y\geqslant z$

$x=4 ,y=2, z = 2$

ได้ $(x-1)(y-1)(z-1)=1$ ไม่ใช่หรอคะ

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nong_jae

ได้ $(x-1)(y-1)(z-1)=1$ ไม่ใช่หรอคะ

โทดทีครับ เหอๆ

[SolitudE]

เอกลักษณ์ No.5 ดีจริงๆ

ขยับโจทย์นิดนึงก็เสร็จละ

[ไซโคลน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ2 พจน์ทั่วไปคือ

$\dfrac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$

ลองเล่นแร่แปรธาติเทอมนี้ให้กลายเป็น

$\dfrac{1}{(n+1)!}-\dfrac{1}{(n+2)!}$

ข้อ4
สังเกตว่า $x+2=3^a,x+8=3^b$ บาง $a,b$

เป็นอย่างอื่นไม่ได้เพราะข้างขวาเป็นกำลังของ $3$

แต่ $(x+2,x+8)=(x+2,x+2+6)=(x+2,6)\in\{1,2,3,6\}$

ซึ่งจะทำให้ได้ว่า $(x+2,x+8)\in\{1,3\}$ เท่านั้นเพราะทั้งคู่เป็นกำลังของ $3$ อยู่

แต่ลองคิดดูว่า $1$ น่ะเป็นไปไม่ได้ ก็เหลือแค่ $3$ แล้วล่ะทีนี้

แก้สมการดูจะได้คำตอบสวยๆมาชุดนึง

ขอบคุณสำหรับทุกข้อความนะครับ
แต่ข้อ2กับข้อ4อยากให้อธิบายให้GETหน่อยครับ

[Slurpee]

สำหรับข้อ 2 นะครับ
จาก $\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
จะได้
$\frac{n+2}{n!+(n+1)(n)!+(n+2)(n+1)!}$
= $\frac{n+2}{(n+2)(n)!+(n+2)(n+1)!}$
= $\frac{1}{(n)!+(n+1)!}$
= $\frac{1}{(n)!+(n+1)(n)!}$
= $\frac{1}{(n+2)(n)!}$
= $\frac{1}{(n+2)(n)!}*\frac{n+1}{n+1}*\frac{(n+1)!}{(n+1)!}$
= $\frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)(n)!}$
= $\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}$

[ไซโคลน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Slurpee

สำหรับข้อ 2 นะครับ
จาก $\frac{n+2}{n!+(n+1)!+(n+2)!}$
จะได้
$\frac{n+2}{n!+(n+1)(n)!+(n+2)(n+1)!}$
= $\frac{n+2}{(n+2)(n)!+(n+2)(n+1)!}$
= $\frac{1}{(n)!+(n+1)!}$
= $\frac{1}{(n)!+(n+1)(n)!}$
= $\frac{1}{(n+2)(n)!}$
= $\frac{1}{(n+2)(n)!}*\frac{n+1}{n+1}*\frac{(n+1)!}{(n+1)!}$
= $\frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)(n)!}$
= $\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}$

คูณเพื่อไรหรอคับ แล้วบรรต่อไปเรื่อยๆพิมไรผิดไปรึเปล่าคับ

[Siren-Of-Step]

ข้อ 4 ก็พี่เขา อธิบายชัดแล้วหนิ

[Slurpee]

ขออภัยครับพิมพ์ผิด
= $\frac{1}{(n+2)(n)!}*\frac{n+1}{n+1}*\frac{(n+1)!}{(n+1)!}$
= $\frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)(n+1)(n)!(n+1)!}$
= $\frac{(n+1)(n+1)!}{(n+2)!(n+1)!}$
= $\frac{[(n+2)-1](n+1)!}{(n+1)!(n+2)!}$
= $\frac{(n+2)(n+1)!-(n+1)!}{(n+1)!(n+2)!}$
= $\frac{(n+2)!-(n+1)!}{(n+1)!(n+2)!}$
= $\frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+2)!}$

สำหรับ(วิธีคิด)ผมที่คูณเข้าก็เพื่อพยายามจัดรูปให้เหมือนกะพี่เค้าได้นะครับ
ยังไงก็ขอโทษจริงๆนะครับ

[nooonuii]

เปลี่ยนใหม่แล้วกัน เพิ่งสังเกตเห็นว่าคำตอบติดลบได้

No. 4 สังเกตว่า $x+2=3^a,x+8=3^b$ บาง $a<b$ หรือ

$x+2=-3^a,x+8=-3^b$ บาง $a>b$

ขอแนะกรณีแรกนะครับ อีกกรณีก็ไม่ต่างกันมาก

สังเกตว่า $(x+2,x+8)=3^a$

แต่ $(x+2,x+8)=(x+2,x+2+6)=(x+2,6)\in\{1,2,3,6\}$

ซึ่งจะทำให้ได้ว่า $3^a=(x+2,x+8)\in\{1,3\}$ เท่านั้น

จึงได้ $a\in\{0,1\}$

ที่เหลือก็เช็คคำตอบครับ

มีสองคำตอบคือ $(x,y)=(1,3),(-11,3)$

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

เปลี่ยนใหม่แล้วกัน เพิ่งสังเกตเห็นว่าคำตอบติดลบได้

No. 4 สังเกตว่า $x+2=3^a,x+8=3^b$ บาง $a<b$ หรือ

$x+2=-3^a,x+8=-3^b$ บาง $a>b$

ขอแนะกรณีแรกนะครับ อีกกรณีก็ไม่ต่างกันมาก

สังเกตว่า $(x+2,x+8)=3^a$

แต่ $(x+2,x+8)=(x+2,x+2+6)=(x+2,6)\in\{1,2,3,6\}$

ซึ่งจะทำให้ได้ว่า $3^a=(x+2,x+8)\in\{1,3\}$ เท่านั้น

จึงได้ $a\in\{0,1\}$

ที่เหลือก็เช็คคำตอบครับ

มีสองคำตอบคือ $(x,y)=(1,3),(-11,3)$

(-11,3)==> $-11(-11+2)(-11+8)=3^{3}$
แทนแล้วมันไม่จริงอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

(-11,3)==> $-11(-11+2)(-11+8)=3^{3}$
แทนแล้วมันไม่จริงอ่ะครับ

เวรกรรม มองไม่เห็นตัว $x$ อีกตัว

ที่อธิบายมาทั้งหมด ผมกำลังแก้สมการ $(x+2)(x+8)=3^y$ อยู่ครับ