ถามFE

[polsk133]

f(x+1)=f(x)+1 แก้ไงอะครับ = =*

ขอละเอียดๆนะครับ

[polsk133]

มีคำตอบเดียวหรอครับ
คือเราจะรู้ได้ไงว่าครบแล้ว

[Beatmania]

ผมคิดว่า มันขึ้นกับว่า ค่า f(x) เมื่อ x อยู่ระหว่าง 0 - 1 เป็นอย่างไรครับ

ถ้าผิดก็ขอโทษด้วยครับ

[Euler-Fermat]

ถ้า$ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $
แทน $x= 0 : f(1)-f(0) = 1$
แทน $x= 1 : f(2)-f(1) = 1$
.
.
.
.
แทน$ x = x-1 : f(x)-f(x-1) = 1$
$f(x) - f(0) = x$
ดังนั้น $f(x) = x+f(0) $
$f(0)$ เป็นค่าคงที่
ผมทำแบบกากๆ ผมอ่อน FE มากครับ ถามคุณ Beatmania ได้เลยครับ เขาโหดด

[polsk133]

โจทย์เป็นแบบนี้ครับ

จงหาฟังก์ชัน $f:Q\rightarrow Q$ ทั้งหมดซึ่ง $f(1)=2$ และ $f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1$ สำหรับทุกจำนวนตรรกยะ x,y

ต้องขอโทษด้วยครับที่ไม่โพสโจทย์ตั้งแต่แรก เพราะผมไม่รู้ว่าส่วนอื่นที่ต้องใช้ก็จำเป็น

ผมทำโดยแทน y=1

ได้ $f(x+1)=f(x)+1$ อะครับ แล้วก็ทำไม่เป็น

[Beatmania]

@ Euler-Fermat พูดเกินไปครับ ผมอ่อน FE แล้วก็ กรณีของแบงค์อ่ะ ถ้า x ไม่เป็นจำนวนเต็มจะทำไม่ได้นาา

@ polsk133 ผมติดตรงที่มันเป็นเศษส่วนอ่ะครับ = =

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

@ Euler-Fermat พูดเกินไปครับ ผมอ่อน FE แล้วก็ กรณีของแบงค์อ่ะ ถ้า x ไม่เป็นจำนวนเต็มจะทำไม่ได้นาา

@ polsk133 ผมติดตรงที่มันเป็นเศษส่วนอ่ะครับ = =

มันต่างกันยังไงหรอครับ เศษส่วน จำนวนจริง จำนวนเต็ม มันจะทำคนละวิธีหรอครับ

ปล. ผมอ่อน FE มากๆครับ ถึงใครจะอ่อนก็ยังเกี่งกว่าผมอยู่ดีครับ

[Beatmania]

คือตอนนี้ผมได้แค่ว่า

$f(x)=x+1$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม x

พอจะแสดงว่า

$f(\frac{x}{y} )=\frac{x}{y} +1$ ผมก็แทนไม่ถูกอ่ะครับ = =

[Thgx0312555]

Hint แทนค่า x = p/q, y = q, p,q เป็นจำนวนเต็ม แล้วใช้ f(x+1) = f(x)+1 telescoped;

[Beatmania]

ขอบคุณครับ ลืมนึกถึงตอนที่มัน telescope เลย = =

[Keehlzver]

เรียกวิญญาณไอ pco มาจุติก่อน ตุ้ม!! มาและ

IDEA หลักคือต้องพิสูจน์ให้ได้บน N ก่อน ขยายเป็น I ถึงจะขยายเป็น Q ได้ อาวุธที่ใช้ตีคือ Mathematical indution กับ การแทนค่า
ให้ $P(x,y); f(x)f(y)-f(x+y)+1=f(xy)$

1.$P(1,n); f(n+1)=f(n)+1$ ตรงนี้ก็ telescoping เอากับเงื่อนไข $f(1)=2$ จะได้ว่า $f(n)=n+1$ เป็นคำตอบ ถึงขึ้นนี้เราจะสรุปได้แค่ว่า $f(n)=n+1$ เป็นคำตอบของสมการเชิงฟังก์ชันในโดเมนของ N
เพราะฉะนั้น $f(n)=n+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
2.$P(0,n); f(0)n=f(n)-1=n+1-1=n$ ได้ $f(0)=1$
3.$P(-1,1); f(-1)=0$
4.$P(-1,n); f(-n)=-f(n-1)+1=-n+1$ ตรงนี้ผมอ้างจาก $f(n)=n+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ ทำไมถึงอ้างได้?
ดังนั้น จาก $f(-n)=-n+1$ เราได้ว่า $f(z)=z+1$ ทุกจำนวนเต็ม $z$
5. $P(n,\frac{1}{n}); f(1)=(n+1)f(\frac{1}{n})-f(n+\frac{1}{n})+1$ แต่ $f(1)=2$
ก็จะได้ว่า $(n+1)f(\frac{1}{n})=f(n+\frac{1}{n})+1$ มาถึงตรงนี้ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่า $f(n+\frac{1}{n})=n+f(\frac{1}{n})$ แทนกลับสมการและจัดรูปจะได้ทันทีว่า $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
6.$P(1,m+\frac{1}{n});$ ได้ $f(m+1+\frac{1}{n})=f(m+\frac{1}{n})+1$ เราจะใช้สมการนี้ในการอุปนัยบน $m$ ว่ามันเป็นจริงที่ $f(m+\frac{1}{n})=m+f(\frac{1}{n})$
7.อุปนัยเสร็จแล้วเราก็เอา $f(m+\frac{1}{n})=m+f(\frac{1}{n})$ ไปใช้อ้างได้ละ
8. ถึงตรงนี้เราจะได้ว่า $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
9. $P(m,\frac{1}{n}); f(\frac{m}{n})=f(m)f(\frac{1}{n})-f(m+\frac{1}{n})+1$
เอาข้อเท็จจริงที่พิสูจน์แล้วแทนลงไป $f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}+1$ และ $f(m+\frac{1}{n})=m+\frac{1}{n}+1$
10. สมการจากข้อ 9 จะกลายเป็น $f(\frac{m}{n})=\frac{m}{n}+1$ ก็จะได้ว่า $f(r)=r+1$ ทุกจำนวนตรรกยะบวก $r$
11. $P(-1,r);$ ได้ $f(-r)=-f(r-1)+1=-(r-1)+1+1=-r+1$ ก็จะได้ว่า $f(-r)=-r+1$ ทุกจำนวนตรรกยะลบ $r$ ก็จะสรุปได้ว่า $f(r)=r+1$ ทุกจำนวนตรรยะ r

[Keehlzver]

Commentary
ผมแนะนำให้หาบทความจาก imomath.com มาอ่านครับ โจทย์ข้อนี้ก็มาจากอันนั้น และที่สำคัญ FE เป็นวิชาที่ละเอียดอ่อนครับ ไม่สามารถใช้อ้างอะไรได้เลยในการแทนค่า ถ้าไม่ได้พิสูจน์ให้เห็นจริงก่อนว่าสอดคล้อง สำคัญมากนะครับ

[polsk133]

ขอบคุณทุกคนมากครับ

จาก #13 ข้อ 4,11
ข้อ 4. จากจำนวนเต็มบวกไปอ้างในจำนวนเต็มลบแล้วถามทิ้งท้ายว่าทำไมถึงอ้างได้ อันนี้เพราะอะไรหรอครับไม่ทราบจริงๆ
ข้อ 11. เช่นกันครับ จากตรรกยะบวก ไปใส่กับ อตรรกยะลบ ได้เพราะอะไรหรอครับไม่ทราบจริงๆ

[Keehlzver]

ข้อ 1. ผมพิสูจน์ได้แล้่วว่า $f(n)=n+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$ เพราะฉะนั้นต่อจากนี้่ ผมสามารถเอา $f(n)=n+1$ สำหรับทุก $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกมาอ้างตรงไหนก็ได้ของโจทย์

พอมาถึงข้ัอ 4. ผมพิสูจน์ได้ว่า $f(-n)=-n+1$ ทุกจำวนเต็มบวก $n$ ก็สรุปต่อได้ว่า $f(k)=k+1$ ทุกจำนวนเต็มลบ $k$ (มันเหมือนกับการเปลี่ยนตัวแปร $-n=k$ แล้วอ้่าง $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก)

มาถึงตรงนี้เราก็รวมข้อเท็จจริงที่พิสูจน์ได้ 2 ส่วนคือ
1.$f(n)=n+1$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n$
2.$f(k)=k+1$ ทุกจำนวนเต็มลบ $k$

ดังนั้นสรุปได้เลยว่า $f(h)=h+1$ ทุกจำนวนเต็ม $h$

พูดง่ายๆคือผมพิสูจน์ว่า $f(n)=n+1$ ทุก $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกก่อน->ขยายเป็นเต็มลบ->ขยายเป็นจำนวนเต็ม->ตรรกยะบวก->ตรรกยะลบ->ตรรกยะ ก็จะจบบทพิสูจน์

แ่ต่กรณีที่โดเมนของฟังก์ชันเป็นจำนวนจริง เราก็ต้องใช้วิธีอื่นเช่น โคชี 1-1 ทั่วถึง โดนการแทนค่าเพื่อทดสอบดู

การทำโจทย์ FE ทุกครั้ง แทนค่าหลายๆจุดของฟังก์ชันเพื่อน Extract ข้อมูลของโจทย์ออกมา เดาคำตอบไว้ก่อน บทพิสูจน์ตามมาทีหลัง

ทำโจทย์อสมการก็เหมือนกัน เชคดูทุกครั้งว่าอสมการเป็นจริงหรือเปล่า ถ้ามันหลุดขอบตั้งแต่ต้นทำไปก็ไม่ออกครับ