ก.พ 55 บางข้อครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

1.จงหาความสูงของทรงกระบอกที่ใช้บรรจุน้ำมัน 1 ลิตรเพื่อจำนายโดยใช่โลหะน้อยที่สุด

2.$\mathbb{N}$ แทนเชตของจำนวนนับ
$A={{x|||x|+3|\bullet ||x|-3|<7 }}$

$B={x|\sqrt[3]{3x+1}>\sqrt{x+1} }$

จงหาจำนวนสมาชิก$ (A\cap \mathbb{N})\cup (B\cap \mathbb{N} )$

3.ถ้าจำนวนเชิงช้อน Z สอดคล้องกับสมการ
$Z+|\overline{Z}|=3+9i$

จงหา$ Re(z),Im(z),|Z^2|$

4.กำหนดให้ $sinx+cosx=\sqrt{2} และ y=sin^3x+cos^3x $

ถ้า $Z=cos(2tan^{-1}y)$ จงหาค่า Z

5.จงแสดงว่า ${(1-\sqrt{3}i )}^n$+ ${(1+\sqrt{3}i )}^n$= $2^{n+1}cos \frac{n\pi }{3}$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์

5.จงแสดงว่า ${(1-\sqrt{3}i )}^n$+ ${(1+\sqrt{3}i )}^n$= $2^{n+1}cos \frac{n\pi }{3}$

ใช้อันนี้

ถ้า $x+\dfrac{1}{x}=2\cos\theta$ แล้ว $x^n+\dfrac{1}{x^n}=2\cos n\theta$

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ใช้อันนี้

ถ้า $x+\dfrac{1}{x}=2\cos\theta$ แล้ว $x^n+\dfrac{1}{x^n}=2\cos n\theta$

แสดงให้ดูหน่อยครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ผมได้แบบนี้ ผู้หรือป่าวครับ
$2^ncis(n300)+2^ncis(n60)=2^n\bullet 2(cisn60)$
$ =2^{n+1}cisn60$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์

5.จงแสดงว่า ${(1-\sqrt{3}i )}^n$+ ${(1+\sqrt{3}i )}^n$= $2^{n+1}cos \frac{n\pi }{3}$

ให้ $x=\dfrac{1-\sqrt{3}i}{2}$ จะได้ $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}$

ดังนั้น $x+\dfrac{1}{x}=1=2\cos\dfrac{\pi}{3}$

ดังนั้น $x^2+\dfrac{1}{x^n}=2\cos\dfrac{n\pi}{3}$

สำหรับวิธีพิสูจน์สูตรข้างบนใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ครับ

วิธีที่ง่ายกว่าคือใช้ De Moivre เหมือนที่ทำไว้ครับ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ขอบพระคุณ #2#6 มากๆครับที่ช่วยชี้แนะ
ข้อ 1 ทำไงเหรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์

1.จงหาความสูงของทรงกระบอกที่ใช้บรรจุน้ำมัน 1 ลิตรเพื่อจำนายโดยใช่โลหะน้อยที่สุด

ให้ $r$ แทนรัศมีของทรงกระบอก และ $h$ แทนความสูง

จะได้ว่า $\pi r^2h=1$

ต้องการหาพื้นที่ผิวที่น้อยที่สุด

พื้นที่ผิวที่ต้องการคือ $2\pi rh+\pi r^2=\dfrac{2}{r}+\pi r^2$

ใช้อนุพันธ์หาค่า $r$ จะได้ $r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\pi}}$ ให้ค่าต่ำสุด

ความสูงจึงเท่ากับ $\dfrac{1}{\sqrt[3]{\pi}}$

[cardinopolynomial]

4.ได้$ y= (sinx+cosx)(1-sinxcosx)$

$= (\sqrt{2})(\frac{1}{2}) $

$z=cos(2tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}))$

ลองมอง $A= 2tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$

จากเอกลักษณ์ $(secA)^2-(tanA)^2=1$

$(secA)^2=1+(tanA)^2$

$tanA=tan(2tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}))$

$=tan2B=\frac{2tanB}{1-(tanB)^2};tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=B $

$=\frac{2x\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{2}}=2\sqrt{2} $

$secA=3$

$cos(2tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}))=\frac{1}{3} $

[cardinopolynomial]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $r$ แทนรัศมีของทรงกระบอก และ $h$ แทนความสูง

จะได้ว่า $\pi r^2h=1$

ต้องการหาพื้นที่ผิวที่น้อยที่สุด

พื้นที่ผิวที่ต้องการคือ $2\pi rh+\pi r^2=\dfrac{2}{r}+\pi r^2$

ใช้อนุพันธ์หาค่า $r$ จะได้ $r=\dfrac{1}{\sqrt[3]{\pi}}$ ให้ค่าต่ำสุด

ความสูงจึงเท่ากับ $\dfrac{1}{\sqrt[3]{\pi}}$

มันต้องเป็น $2\pi rh+2\pi r^2$ ไม่ใช่หรอครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cardinopolynomial

มันต้องเป็น $2\pi rh+2\pi r^2$ ไม่ใช่หรอครับ

น่าจะใช่นะครับ ผมคิดว่ามันคือถังน้ำปกติ

[หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์]

ขอขอบคุณสำหรับทุกคำชี้แนะครับ

[gnap]

กพ.สอบที่ไหนเหรอครับ

[geophysics]

ปีทีแล้วสอบที่ มหาวิทยาลัยราชภัฎสวนดุสิต