Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 30 มีนาคม 2001, 17:03
<parn>
 
ข้อความ: n/a
Post find all positive integer m

find all positive integer m with the property that the fourth power of the number of positive divisors of m equal m
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 30 มีนาคม 2001, 17:04
<คิดด้วยคน>
 
ข้อความ: n/a
Post

โจทย์ต้องการให้เราหาจำนวนเต็มบวกที่ จำนวนตัวประกอบของมันยกกำลังสี่แล้วได้ตัวมันเอง

เราจะเริ่มไล่เป็นกรณีไปดังนี้

1. กรณีที่จำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบ ที่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอยู่ 1 ตัว

สมมติให้จำนวนนั้นมีตัวประกอบอยู่ทั้งหมด p ^ m ตัว (p เป็นจำนวนเฉพาะ)

ดังนั้น จำนวนนั้นคือ (p ^ m) ^ 4 = p ^ (4m) ซึ่งเราพบว่ามีจำนวนตัวประกอบอยู่ 4m + 1 ตัว

จึงได้ว่า 4m + 1 = p ^ m จะสังเกตได้ว่า 4m + 1 เป็นจำนวนคี่เสมอ ดังนั้น p >= 3 นอกจากนี้เทอมด้านซ้ายมือของสมการเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น แต่เทอมทางด้านขวามือของสมการเป็นเอ็กโปเน็นเชียล จึงมีขอบเขตบนของค่า m ที่ค่าหนึ่งที่จะทำให้สมการนี้ยังคงเป็นจริงได้ ซึ่งเมื่อหาออกมาแล้วจะได้ว่า m <= 2

เราจะทดสอบค่า m ไปทีละค่าดังนี้
m = 0 จะได้ว่า p = จำนวนเฉพาะใดๆ
m = 1 จะได้ว่า p = 5
m = 2 จะได้ว่า p = 3
จึงได้จำนวนดังกล่าวมาสามจำนวนคือ p ^ 0 = 1 , 5 ^4 = 625 และ 3 ^ 8 = 6561

2. กรณีที่จำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบ ที่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอยู่ 2 ตัว

สมมติให้จำนวนนั้นมีตัวประกอบอยู่ทั้งหมด (p ^ m)(q ^ n) ตัว (p และ q เป็นจำนวนเฉพาะ)

ดังนั้น จำนวนนั้นคือ ((p ^ m)(q ^ n)) ^ 4 = (p ^ (4m))(q ^ (4n)) ซึ่งเราพบว่ามีจำนวนตัวประกอบอยู่ (4m + 1)(4n + 1) ตัว

จึงได้ว่า (4m + 1)(4n + 1) = (p ^ m)(q ^ n) และเราจะสังเกตได้ว่าผลเฉลยของสมการนี้จะได้จากการนำผลเฉลยของกรณีที่ 1 มาแทนค่าเท่านั้น(เราจะทำการจับคู่แก้สมการระหว่าง p กับ m และระหว่าง q กับ n)

จึงได้ว่าจำนวนดังกล่าวมีเพียงจำนวนเดียวคือ (5 ^ 4)(3 ^ 8) = 4100625

3. กรณีที่จำนวนนั้นมีจำนวนตัวประกอบ ที่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอยู่มากกว่า 2 ตัว

จากเหตุผลที่ได้พิจารณาในกรณีที่ 2 จึงได้ว่าในกรณีนี้จะไม่สามารถหาจำนวนดังกล่าวได้ (เนื่องจากมีจำนวนเฉพาะที่ใช้ได้เพียง 2 ตัวเท่านั้น คือ 3 และ 5)

สรุปแล้วจำนวนดัวกล่าวมีทั้งหมด 4 ค่าได้แก่ 1 625 6561 และ 4100625
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
On-Line Encyclopedia of Integer Sequences warut งานหรือข่าวคราวคณิตศาสตร์ทั่วไป 0 28 เมษายน 2007 00:28
Find x,y <jamess> ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 3 30 มีนาคม 2001 17:36

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:28


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha