Trigonometric Marathon

[nithi_rung]

(จากข้อ 36: สมการ $3\arcsin (3a-4a^3) - \arcsin a = \frac{37 \pi}{21}$)

เฉลยเลยแล้วกันนะครับ ไม่มีใครตอบมาเกือบสัปดาห์แล้ว
ให้ $\arcsin a = \theta$ จะได้ว่า $sin\theta = a$ โดยที่ $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
และ $sin 3\theta = 3a - 4a^3$ โดยที่ $3\theta \in \left[-\frac{3\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$
พิจารณาได้เป็น 3 กรณี

กรณี 1 $3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ (นั่นคือ $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]$)
จะได้ว่า $\arcsin(\sin 3\theta)=3\theta$
ดังนั้น $3\arcsin (3a-4a^3)-\arcsin a = 3\arcsin (\sin 3\theta) - \arcsin (\sin \theta) = 8\theta$
จะได้ $\theta = \frac{37\pi}{168} \not \in \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right]$ กรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้

กรณี 2 $3\theta \in \left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ (นั่นคือ $\theta \in \left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]$) ดังนั้น $\pi - 3\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$
จะได้ว่า $\arcsin(\sin 3\theta)=\arcsin(\sin(\pi -3\theta))=\pi-3\theta$
ดังนั้น $3\arcsin (3a-4a^3)-\arcsin a = 3\arcsin (\sin 3\theta) - \arcsin (\sin \theta) = 3\pi - 10\theta$
จะได้ $\theta = \frac{13\pi}{105} \not \in \left(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2}\right]$ กรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้

กรณี 3 $3\theta \in \left[-\frac{3\pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right)$ (นั่นคือ $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$) ดังนั้น -$\pi - 3\theta \in \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$
จะได้ว่า $\arcsin(\sin 3\theta) = arcsin (\sin (-\pi - 3\theta)) =-\pi -3\theta$
ดังนั้น $3\arcsin (3a-4a^3)-\arcsin a = 3\arcsin (\sin 3\theta) - \arcsin (\sin \theta) = -3\pi -10\theta$
จะได้ $\theta = -\frac{10\pi}{21} \in \left[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$

ดังนั้น $\arcsin a = -\frac{10\pi}{21}$

ข้อต่อไปเอาของน้อง Mastermander มาแล้วกันนะครับ ทวนโจทย์ให้อีกรอบนึง
37. จงหาค่าของ
$$\frac{\sin^3 9^{\circ}+\cos^3 9^{\circ}}{\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 80^{\circ}\sin 54^{\circ}}$$

[Mel SK125]

$$ \arcsin (\sin 3\theta) = -3\theta - \pi \text{ when } \theta\in (-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}) $$

ลองแทนในสมการจะได้

$$-9\theta - 3\pi - \theta = \frac{37\pi}{21}$$
$$-10\theta = \frac{100\pi}{21}$$
$$\theta = -\frac{10\pi}{21}$$

ซึ่งเมื่อแทนในสมการเริ่มต้นแล้วเป็นจริง

[nithi_rung]

แหะๆ มาโพสต์เวลาใกล้ๆ กันเลยนะครับ

[Mastermander]

38.

\[
\begin{array}{l}
\sum\limits_{n = 1}^{999} {\sin \theta \lambda } = \sum\limits_{n = 1}^{999} {\cos \theta \lambda } \\
{\rm Find}\quad \lambda \\
\end{array}
\]

[Mastermander]

39.


$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1-\cos2x)^3}{\sin^6x+\cos^6x}\,dx$$

[Mastermander]

37.

Answer

$9\sqrt2-\sqrt{10}$

[passer-by]

ข้อ 39

เพราะ $ 1-\cos 2x = 2\sin^2 x $ ดังนั้น จัดรูป integrand ใหม่เป็น

$$ 8\int_0^{\pi/2} \frac{\sin^6 x}{\sin^6 x +\cos^6 x} \, dx= 8I $$

แล้วก็ใช้เทคนิคยอดฮิตแบบที่ใช้ในกระทู้ ตะลุยโจทย์อินทิเกรตหาค่า I

ดังนั้น ข้อนี้ตอบ 2p ครับ

[Mastermander]

40.ให้ a b c เป็นความยาวของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม และให้ A B C เป็นมุมตรงข้ามของด้านดังกล่าว
จงหาค่าที่มากที่สุดของ $$\frac{a\sin A+b\sin B +c\sin C}{a+b+c}$$

[Mastermander]

41.Evaluate $$\sum_{r=0}^{n-2}2^r\tan\frac{\pi}{2^{n-r}}$$
for integer $n\ge 2$

[Timestopper_STG]

38.ตอบแบบนี้รึเปล่าครับ

[Mastermander]

คำตอบคุณ Timestopper_STG ยังไม่ถูกต้องนะครับ

[Timestopper_STG]

แว้กกก...คิดเลขผิดครับจริงๆน่าจะเป็นpi/2000

[passer-by]

ขอแปะไว้ที่กระทู้นี้แล้วกัน ถึงแม้เป็นโจทย์อินทิเกรต แต่ใช้ตรีโกณมิติเยอะมาก

42. Evaluate

$$ \int_0^1 \cos(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}) \,dx $$

p.s รู้นะ...ว่าเอาข้อ 41 มาจากไหน

[Mastermander]

42.$\displaystyle{ \int_0^1 \cos(2\cot^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}) \,dx =I}$
$\because \cos 2a=2\cos^2a-1$
$$I=\int_0^1 2\cos^2 \arctan\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}-1 \ dx $$
$$I=\int_0^1 (1-x)-1 \ dx =-\int_0^1 x\ dx=-0.5$$

ทำไมข้อนี้ง่ายแปลกๆ

ป.ล.ข้อ 41 เอามาจาก.......

[passer-by]

สงสัยผมจะ intro เข้าโจทย์เว่อร์ไปหน่อย

คือผมก็ตั้งใจให้มันง่ายแปลกๆอย่างที่ว่าแหละครับ

จริงๆว่าจะแปะเพิ่มอีกข้อนึง แต่มันเกิน ม.ปลายไปไกลโข เขาเรียกว่า Fresnel integral ครับ นั่นคือ

$$\int_0^{\infty} \sin(x^2) \, dx =\int_0^{\infty} \cos(x^2) \, dx =\sqrt{\frac{\pi}{8}}$$

ใครสนใจลองศึกษาจากวิชา Complex Analysis นะครับ