โจทย์ความน่าจะเป็นครับ...ยากมากกกกกก

[Taungli]

1. นักท่องเที่ยวกลุ่มหนึ่งมีผู้หญิง 3 คน และผู้ชาย 6 คน ไปพักที่รีสอร์ทแห่งหนึ่ง มีห้องพัก 2 คนต่อห้อง จำนวน 2 ห้อง ห้องพัก 3 คนต่อห้อง จำนวน 2 ห้อง ความน่าจะเป็นที่จะจัดนักท่องเที่ยวกลุ่มนี้เข้าพักในห้องโดยหญิงชายไม่พักห้องเดียวกันเป็นเท่าใด
1. $\frac{3}{140}$
2. $\frac{17}{840}$
3. $\frac{19}{1231}$
4. $\frac{71}{197}$
ผมคิดยังัยก็ได้ไม่ตรงสักตัวเลือกเลยครับ ผมคิดได้ $\frac{1}{60}$
2. มีหนังสือ 12 เล่ม วางอยู่บนชั้นเป็นแถวยาว สุ่มหยิบมา 5 เล่ม ความน่าจะเป็นที่หนังสือ 3 เล่มนั้นไไม่วางอยู่ติดกันเลยเป็นเท่าใด
1. $\frac{7}{99}$
2. $\frac{7}{33}$
3. $\frac{5}{99}$
4. $\frac{4}{33}$
ข้อนี้ผมตีโจทย์ไม่แตกเลยครับไม่รู้ว่าสามเล่มไม่ติดกันแล้วอีก 2 เล่มนั้นติดกันได้ใหม? ผมไม่มีไอเดียอะไรเลยครับ
รบกวนทุกคนด้วยนะครับ ช่วยผมหน่อยผมคิดมาหลายวันแล้วครับ ขอบคุณมาก ๆ ครับ

[Benten10]

2.ลองคิดเป็น 3 เล่มติดกันดูครับ แล้วลบเอา

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Taungli

1. นักท่องเที่ยวกลุ่มหนึ่งมีผู้หญิง 3 คน และผู้ชาย 6 คน ไปพักที่รีสอร์ทแห่งหนึ่ง มีห้องพัก 2 คนต่อห้อง จำนวน 2 ห้อง ห้องพัก 3 คนต่อห้อง จำนวน 2 ห้อง ความน่าจะเป็นที่จะจัดนักท่องเที่ยวกลุ่มนี้เข้าพักในห้องโดยหญิงชายไม่พักห้องเดียวกันเป็นเท่าใด
1. $\frac{3}{140}$
2. $\frac{17}{840}$
3. $\frac{19}{1231}$
4. $\frac{71}{197}$
ผมคิดยังัยก็ได้ไม่ตรงสักตัวเลือกเลยครับ ผมคิดได้ $\frac{1}{60}$
2. มีหนังสือ 12 เล่ม วางอยู่บนชั้นเป็นแถวยาว สุ่มหยิบมา 5 เล่ม ความน่าจะเป็นที่หนังสือ 3 เล่มนั้นไไม่วางอยู่ติดกันเลยเป็นเท่าใด
1. $\frac{7}{99}$
2. $\frac{7}{33}$
3. $\frac{5}{99}$
4. $\frac{4}{33}$
ข้อนี้ผมตีโจทย์ไม่แตกเลยครับไม่รู้ว่าสามเล่มไม่ติดกันแล้วอีก 2 เล่มนั้นติดกันได้ใหม? ผมไม่มีไอเดียอะไรเลยครับ
รบกวนทุกคนด้วยนะครับ ช่วยผมหน่อยผมคิดมาหลายวันแล้วครับ ขอบคุณมาก ๆ ครับ

ข้อ 1 ตอบ 1. 3/140

n(E) = 240 + 180 + 120

ข้อ 2 โจทย์น่าจะผิดครับ ถ้าแก้เป็น ความน่าจะเป็นที่หยิบหนังสือ 5 เล่ม แล้วทั้ง 5 เล่ม แยกกันหมด
จะตอบ ข้อ 1 เช่นกัน

[Taungli]

ขอบคุณทุก ๆ คนมากนะครับที่มาช่วยตอบ
แต่ผมมีบางอย่างสงสัยครับคุณ gon คือ ในข้อ 1
$N\left(\,E\right)=240+180+120 $ ผมสงสัยอ่าครับว่า $120$ ตัวสุดท้ายนี่มาจากใหนหรอครับ?
ผมอยากให้ช่วยลองดูวิธีคิดของผมหน่อยครับว่าผมเข้าใจถูกหรือป่าว
ในการจัดคนเข้าห้องเราจะต้องมี 2 ขั้นตอนคือ 1.จัดคนเป็นกลุ่มตามความจุห้อง 2.จับกลุ่มคนที่จัดเข้าห้อง
เนื่องจากมีคน $9$ คน แต่ห้องพักรับได้ทั้งหมด $10$ ที่ ดังนั้นต้องมี $1$ ห้องที่ไม่มีคนพัก
เราคิดว่าห้องพักแต่ล่ะห้องต่างกัน
ให้ห้องที่ $1$ พักได้ห้องล่ะ 2 คน
ให้ห้องที่ $2$ พักได้ห้องล่ะ 2 คน
ให้ห้องที่ $3$ พักได้ห้องล่ะ 3 คน
ให้ห้องที่ $4$ พักได้ห้องล่ะ 3 คน พิจารณากรณีการเข้าพักดังนี้ หา $N\left(\,S\right)$
ห้องที่ $1$ $2$ $3$ $4$
เข้าพัก $1$ $2$ $3$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{9}{1}\cdot 1\binom{8}{2}\cdot 1\binom{6}{3}\cdot 2\binom{3}{3}\cdot 1}{2!}=5040$ วิธี
เข้าพัก $2$ $1$ $3$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{9}{2}\cdot 1\binom{7}{1}\cdot 1\binom{6}{3}\cdot 2\binom{3}{3}\cdot 1}{2!}=5040$ วิธี
เข้าพัก $2$ $2$ $2$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{9}{2}\cdot 3\binom{7}{2}\cdot 2\binom{5}{2}\cdot 1\binom{3}{3}\cdot 1}{3!}=7560$ วิธี
เข้าพัก $2$ $2$ $3$ $2$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{9}{2}\cdot 3\binom{7}{2}\cdot 2\binom{5}{3}\cdot 1\binom{2}{2}\cdot 1}{3!}=7560$ วิธี
ดังนั้นเราจะได้ $N\left(\,S\right)=5040+5040+7560+7560=25200 $ วิธี
ต้อไปพิจารณา $N\left(\,E\right) $ เหตุการณ์ที่หญิงชายไม่พักห้องเดียวกัน
เนื่องจากมีผู้หญิง $3$ คน อาจนอนห้องเดียวกันทั้งหมด หรือนอนแยกห้องกัน
กรณีที่ผู้หญิงทั้ง $3$ คน นอนห้องเดียวกันทั้งหมด
ห้องที่ $1$ $2$ $3$ $4$
เข้าพัก $1$ $2$ $3$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{3}{3}\cdot 2\binom{6}{1}\cdot 1\binom{5}{2}\cdot 1\binom{3}{3}\cdot 1}{2!}=60$ วิธี
เข้าพัก $2$ $1$ $3$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{3}{3}\cdot 2\binom{6}{2}\cdot 1\binom{4}{1}\cdot 1\binom{3}{3}\cdot 1}{2!}=60$ วิธี
เข้าพัก $2$ $2$ $2$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{3}{3}\cdot 1\binom{6}{2}\cdot 3\binom{4}{2}\cdot 2\binom{2}{2}\cdot 1}{3!}=90$ วิธี
เข้าพัก $2$ $2$ $3$ $2$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{3}{3}\cdot 1\binom{6}{2}\cdot 3\binom{4}{2}\cdot 2\binom{2}{2}\cdot 1}{3!}=90$ วิธี
ดังนั้นดังนั้รในกรณีนี้เราจะได้ $N\left(\,E\right)=60+60+90+90=300 $ วิธี
กรณีที่ผู้หญิงทั้ง $3$ คน นอนห้องแยกห้องกัน ต้องมีการแยกแบบ $2$ คน และ $1$ คน
ห้องที่ $1$ $2$ $3$ $4$
เข้าพัก $1$ $2$ $3$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{3}{1}\cdot 1\binom{2}{2}\cdot 1\binom{6}{3}\cdot 2\binom{3}{3}\cdot 1}{2!}=60$ วิธี
เข้าพัก $2$ $1$ $3$ $3$ สมารถทำได้ $\frac{\binom{3}{2}\cdot 1\binom{1}{1}\cdot 1\binom{6}{3}\cdot 2\binom{3}{3}\cdot 1}{2!}=60$ วิธี
เข้าพัก $2$ $2$ $2$ $3$ ไม่สามารถแยกผู้หญิงเข้าห้องแบบ $2$ คน และ $1$ คนได้
เข้าพัก $2$ $2$ $3$ $2$ ไม่สามารถแยกผู้หญิงเข้าห้องแบบ $2$ คน และ $1$ คนได้
ดังนั้นดังนั้รในกรณีนี้เราจะได้ $N\left(\,E\right)=60+60+0+0=120 $ วิธี
ดังนั้นรวมทั้งสองกรณีจะได้ $N\left(\,E\right)=300+120=420 $ วิธี
ดังนั้น $P\left(\,E\right)=\frac{N\left(\,E\right) }{N\left(\,S\right) }=\frac{420}{25200}=\frac{1}{60}$
ผมพลาดตรงใหนไปหรือป่าวครับ รบกวนทุกท่านแนะนำอีกสักครั้งนะครับ
ขอบคุณมาก ๆ ครับ

[narongratp]

ผมคิดว่าห้อง 2 คน เหมือนกัน ห้อง 3 คนเหมือนกัน


วิธีการจัดลงห้องทั้งหมด ( เรียงตามห้อง 2-2-3-3)

1. 2-2-3-2

ได้ $\frac{9!}{2!2!2!3!2!} = 9\times 7\times6\times5\times2$


2. 2-1-3-3

ได้ $\frac{9!}{2!3!3!2!} = 9\times7\times4\times5\times2$

รวม 2 กรณี ได้วิธีการแบ่งทั้งหมด = 6300


จำนวนเหตุการณ์ที่หญิงไม่พักกับชาย

1. จัดหญิงลงห้อง 3 คน

ชายแบ่งได้ 2 แบบ

1.1) 2-2-2(ห่้อง 3 คน) ได้ $\frac{6!}{2!2!2!2!} = 45$

1.2) 2-1-3 ได้ $\frac{6!}{2!1!3!} = 60$


2. จัดหญิงลงห้อง 2-1 (ห้อง 2 คน 2 ห้อง) ได้ $\frac{3!}{2!} = 3$ แบบ

จัดชายลงห้อง 3-3 ได้ $\frac{6!}{3!3!2!} = 10$ แบบ

ได้วิธีการจัดทั้งหมด = 3x10 = 30



รวม 2 กรณีได้ 45+60+30 = 135

ความน่าจะเป็น = $\frac{135}{6300} = \frac{3}{140}$

ถูกผิดตรงไหนท้วงด้วยครับ ขอบคุณครับ

[gon]

ผมทำแบบนี้ครับ ตัว n(s) ได้เท่ากัน. แต่ n(E) ไม่เท่า อ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจเท่าไร สงสัยคนละตำรา

เรื่องนี้เข้าใจยาก ถ้าไม่ได้นั่งอธิบายต่อหน้าให้เห็นกัน เพราะวิธีคิดอาจจะต่างกันบางจุด

ลองเทียบดูแล้วกันครับ หลักการเบื้องต้นเหมือนกันคือ

ขั้นที่ 1 แบ่งกลุ่ม

ขั้นที่ 2 เลือกห้อง

ตอนเลือกห้อง ปกติ ผมจะให้กลุ่มที่มีจำนวนคนมากที่สุดเลือกห้องก่อนเสมอ

ถ้างง อาจจะลองอ่านหนังสือเล่มนี้ http://www.worldscientific.com/world...s/10.1142/1781

หรือไม่ก็หนังสือ คอมบินาทอริก ของ สสวท เสริมความรู้ดูครับ

เรื่องคอมบิอาจจะมีจุดที่บางทีเรายังเข้าใจคลาดเคลื่อนอยู่

[Taungli]

ผมขอขอบคุณทุก ๆ คนมากนะครับที่เข้ามาแนะนำผม
ผมพอจะหาข้อผิดพลาดของตัวเองเจอแล้วครับ(ในข้อ $1$ ) และได้คำตอบเท่ากันทุก ๆ คน
สำหรับข้อ $2$ นั้นโจทย์น่าจะผิดอย่างที่คุณ gon บอกจริง ๆ แหละครับ
เพราะคิดยังงัยก็ได้ไม่ตรงตัวเลือกสักที
แต่ผมมีคำถามต่อว่า ถ้าผมต้องการคำตอบสำหรับโจทย์ข้อนี้จริง ๆ มันจะมีวิธีคิดหรือไม่
หลังจากลองทำมาหลายวันผมก็พอจะหาวิธีทำได้แต่อยากจะให้ทุก ๆ คนลองดูครับว่าถูกหรือไม่
หรือมีวิธีอื่นที่ดีกว่า
โดยผมจะเทียบเคียงหนังสือ $12$ เล่มที่เรียงติดกันบนชั้นหนังสือ เป็นตัวเลย $1-12$ เรียงติดกันดังนี้
$\left(\,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,\right) $
เราต้องการเลือกตัวเลยมา $5$ ตัวโดยที่ไม่มีเลขสามตัวใดเรียงติดกัน
เช่น $\left(\,1,2,4,5,7\right) $ ตรงตามเงื่อนไข แต่ $\left(\,2,6,7,8,12\right) $ ไม่ตรงตามเงื่อนไข
เราจะสามารถหาจำนวนวิธีตามเงื่อนไขดังกล่าวได้กี่วิธี
เริ่มต้นเราหา $N\left(\,S\right)=\binom{12}{5}=\frac{12!}{5!7!}=792$ วิธี
ต่อไปเราจะหาจำนวนวิธืที่หยิบมา $5$ เล่มโดยที่ไม่มีสามเล่มไดติดกัน ซึ่งการหาตามเงื่อนไขตรง ๆ อาจทำได้ยาก
เราจะใช้หลักการเพิ่มเข้า-ตัดออก ดังนี้
$P\left(\,ไม่มี3เล่มใดติดกัน\right)=1-P\left(\,มี3เล่มติดกัน\right) $
การมี 3 เล่มติดกัน คือ เราจะเลือก 3 เล่มที่เรียงติดกันเสมอ เช่น $\left(\,5,6,7,9,10\right)$
เนื่องจากเลข $3$ ใน $5$ ตัวที่เราเลือกมาจะต้องเรียงกันเสมอ ดังนั้นแบ่งการพิจารณาดังนี้
1 ได้ตัวเลฃ $1,2,3$
1.1$\left(\,1,2,3,-,-\right) $
ตำแหน่งที่ $4$ และ $5$ สามารถเลือกตัวเลข $4,5,6,7,8,9,10,11,12$ ลงได้ $2$ ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $\binom{9}{2}=36$ วิธี
1.2$\left(\,-,1,2,3,-\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ ไม่สามารถหาเลขที่น้อยกว่า $1$ มาเติมได้
ดังนั้นสามารถทำได้ $0$ วิธี
1.3$\left(\,-,-,1,2,3\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ และ $2$ ไม่สามารถหาเลขที่น้อยกว่า $1$ มาเติมได้
ดังนั้นสามารถทำได้ $0$ วิธี
ดังนั้นในกรณีนี้สามารถทำได้ทั้งหมด $36+0+0=36$ วิธี
2 ได้ตัวเลฃ $2,3,4$
2.1$\left(\,2,3,4,-,-\right) $
ตำแหน่งที่ $4$ และ $5$ สามารถเลือกตัวเลข $5,6,7,8,9,10,11,12$ ลงได้ $2$ ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $\binom{8}{2}=28$ วิธี
2.2$\left(\,-,2,3,4,-\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ ไม่สามารถหาเลขที่น้อยกว่า $2$ มาเติมได้(ถ้าเติมเลข $1$ จะซ้ำกับกรณี 1.1)
ดังนั้นสามารถทำได้ $0$ วิธี
2.3$\left(\,-,-,2,3,4\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ และ $2$ ไม่สามารถหาเลขที่น้อยกว่า $2$ มาเติมได้ทั้งสองตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $0$ วิธี
ดังนั้นในกรณีนี้สามารถทำได้ทั้งหมด $28+0+0=28$ วิธี
3 ได้ตัวเลฃ $3,4,5$
3.1$\left(\,3,4,5,-,-\right) $
ตำแหน่งที่ $4$ และ $5$ สามารถเลือกตัวเลข $6,7,8,9,10,11,12$ ลงได้ $2$ ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $\binom{7}{2}=21$ วิธี
3.2$\left(\,-,3,4,5,-\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ เราสามารถหาเลขที่น้อยกว่า$3$มาเติมได้$1$ตัวคือเลข$1$(ถ้าเติมเลข $2$ จะซ้ำกับกรณี 2.1)
ตำแหน่งที่ $5$ เราสามารถนำเลข$6,7,8,9,10,11,12$มาเติมได้$7$ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $1\cdot 7=7$ วิธี
3.3$\left(\,-,-,3,4,5\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ และ $2$ ไม่สามารถหาเลขมาเติมได้(ถ้าเติม $1,2$จะซ้ำกรณี 1.1)
ดังนั้นสามารถทำได้ $21+7=28$ วิธี
4 ได้ตัวเลฃ $4,5,6$
4.1$\left(\,4,5,6,-,-\right) $
ตำแหน่งที่ $4$ และ $5$ สามารถเลือกตัวเลข $7,8,9,10,11,12$ ลงได้ $2$ ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $\binom{6}{2}=15$ วิธี
4.2$\left(\,-,4,5,6,-\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ เราสามารถเติมเลข$1,2$มาเติมได้$2$ตัว(ถ้าเติมเลข $3$ จะซ้ำกับกรณี 3.2)
ตำแหน่งที่ $5$ เราสามารถนำเลข$7,8,9,10,11,12$มาเติมได้$6$ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $2\cdot 6=12$ วิธี
4.3$\left(\,-,-,4,5,6\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ และ $2$สามารถหาคู่อันดับมาเติมได้คือ$\left(\,1,2\right),\left(\,1,3\right),\left(\,2,3\right)$
ถ้าเติม$\left(\,1,3\right)$จะซ้ำกรณี 3.2 ถ้าเติม$\left(\,2,3\right)$จะซ้ำกรณี 2.1
ดังนั้นสามารถทำได้ $1$ วิธี
ดังนั้นในกรณีนี้สามารถทำได้ทั้งหมด $15+12+1=28$ วิธี
5 ได้ตัวเลฃ $5,6,7$
5.1$\left(\,5,6,7,-,-\right) $
ตำแหน่งที่ $4$ และ $5$ สามารถเลือกตัวเลข $8,9,10,11,12$ ลงได้ $2$ ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $\binom{5}{2}=10$ วิธี
5.2$\left(\,-,5,6,7,-\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ เราสามารถเติมเลข$1,2,3$มาเติมได้$3$ตัว(ถ้าเติมเลข $4$ จะซ้ำกับกรณี 3.1)
ตำแหน่งที่ $5$ เราสามารถนำเลข$8,9,10,11,12$มาเติมได้$5$ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $3\cdot 5=15$ วิธี
5.3$\left(\,-,-,5,6,7\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ และ $2$สามารถหาคู่อันดับมาเติมได้คือ$\left(\,1,2\right),\left(\,1,3\right),\left(\,1,4\right),\left(\,2,3\right),\left(\,2,4\right)$
ถ้าเติม$\left(\,1,4\right)$จะซ้ำกรณี 4.2 ถ้าเติม$\left(\,2,4\right)$จะซ้ำกรณี 4.2
ดังนั้นสามารถทำได้ $2+1=3$ วิธี
ดังนั้นในกรณีนี้สามารถทำได้ทั้งหมด $10+15+3=28$ วิธี
6 ได้ตัวเลฃ $5,6,7$
6.1$\left(\,6,7,8,-,-\right) $
ตำแหน่งที่ $4$ และ $5$ สามารถเลือกตัวเลข $9,10,11,12$ ลงได้ $2$ ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $\binom{4}{2}=10$ วิธี
6.2$\left(\,-,6,7,8,-\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ เราสามารถเติมเลข$1,2,3,4$มาเติมได้$4$ตัว(ถ้าเติมเลข $5$ จะซ้ำกับกรณี 5.1)
ตำแหน่งที่ $5$ เราสามารถนำเลข$9,10,11,12$มาเติมได้$4$ตัว
ดังนั้นสามารถทำได้ $4\cdot 4=16$ วิธี
6.3$\left(\,-,-,6,7,8\right) $
ตำแหน่งที่ $1$ และ $2$สามารถหาคู่อันดับมาเติมได้คือ$\left(\,1,2\right),\left(\,1,3\right),\left(\,1,4\right),\left(\,1,5\right),\left(\,2,3\right), \left(\,2,4\right),\left(\,2,5\right),\left(\,3,4\right),\left(\,3,5\right),\left(\,4,5\right)$
ถ้าเติม$\left(\,1,5\right)$จะซ้ำกรณี 5.2 ถ้าเติม$\left(\,2,5\right)$จะซ้ำกรณี 5.2
ถ้าเติม$\left(\,3,5\right)$จะซ้ำกรณี 5.2 ถ้าเติม$\left(\,4,5\right)$จะซ้ำกรณี 4.1
ดังนั้นสามารถทำได้ $3+2+1=6$ วิธี
ดังนั้นในกรณีนี้สามารถทำได้ทั้งหมด $6+16+6=28$ วิธี
เมื่อเราทำไปเรื่อย ๆ จะได้ว่า
7 ได้ตัวเลฃ $7,8,9$ สามารถทำได้ $28$ วิธี
8 ได้ตัวเลฃ $8,9,10$ สามารถทำได้ $28$ วิธี
9 ได้ตัวเลฃ $9,10,11$ สามารถทำได้ $28$ วิธี
10 ได้ตัวเลฃ $10,11,12$ สามารถทำได้ $28$ วิธี
ดังนั้น $์N\left(\,ติดกัน3เล่ม\right)=36+28\left(\,9\right)=288 $ วิธี
$P\left(\,ไม่มี3เล่มใดติดกัน\right)=1-P\left(\,มี3เล่มติดกัน\right)=1-\frac{288}{792}=\frac{7}{11} $
มีส่วนใหนแนะนำช่วยชี้แนะด้วยนะครับ ผมแอบคิดว่าน่าจะมีวิธีที่ง่ายกว่านี้แต่ผมคิดไม่ออกเลย
ขอบคุณครับ