Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 18:23
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Post

ข้อ 18
พิจารณา k= 1และ k= 1273
เนื่องจาก tan (1273p/2548) =tan(p/2 - p/2548)=cot(p/2548)
ดังนั้น เทอมที่ k=1 และ1273 รวมกันได้ 1 (ลองบวกดูนะครับ)
และจะเกิดเหตุการณ์ เช่นนี้ สำหรับ k=2 &1272 , k=3 & 1271,....,k=636 & 638
ส่วน k =0, 637 แทนค่าปกติ จะได้ sumที่โจทย์ถามเท่ากับ 637.5

ข้อ 21 ให้ A=a-b ,B=b-g ,C=g-a
ดังนั้น A+B+C=0 และจะได้
\( \begin{array}{rcl} \large cos(A)+cos(B)+cos(C) =cos(A)+cos(B)+cos(A+B) =2cos(\frac{A+B}{2})cos(\frac{A-B}{2})+cos(A+B)\geq -2cos(\frac{A+B}{2})+cos(A+B)\\=-2cos(\frac{A+B}{2}) +2cos^{2}(\frac{A+B}{2})-1=2(cos\frac{A+B}{2}-\frac{1}{2})^{2}-\frac{3}{2}\geq \frac{-3}{2}
\end{array}\)
ดังนั้น ค่าตำสุด คือ -1.5 (เช่น a,b,g= 60,300,180 องศา ตามลำดับ)
หมายเหตุ :ใครมีวิธีสั้นกว่านี้หรือว่าผมทำผิด ช่วยบอกเป็นวิทยาทานด้วยนะครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 18:57
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ได้แล้วครับ วันที่ 2 ข้อที่ 6

08 พฤษภาคม 2005 20:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 19:29
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

เมื่อวานก็บ้าโจทย์ข้อ 6 ไปวันนึงครับ แต่ก็คว้าน้ำเหลวฮิฮิ วิธีคิดของน้อง gool นี่ใช้ได้ทีเดียวแต่ยังไม่ได้ลองคิดตามดูครับ แต่ที่เห็นได้ชัดคือ ตอนสร้างตัวแปรใหม่ น่าจะมีปัญหาเรื่องการหารด้วยศูนย์นิดหน่อยนะครับ เพราะโจทย์ข้อนี้ทุกตัวแปรเป็นจำนวนจริง จึงมีตัวนึงเป็นศูนย์ได้ แต่กรณีนี้มันจะเห็นได้ชัดครับ พิสูจน์ไม่ยาก
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 20:00
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

จริงด้วยครับ เคยแต่พิสูจน์อสมการที่เป็นจำนวนจริงบวก มาเจอข้อนี้ก็เล่นเอาชะงักไปเหมือนกัน
กรณีที่มีจำนวนใดจำนวนหนึ่งเป็นศูนย ์(เนื่องจาก \(a,b,c\) เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน) สมมติให้เป็น \(a\)
จะได้ว่า \(2^2+(\frac{2b-c}{b-c})^2+1^2 \geq 5\) ซึ่งเป็นจริงเสมอครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 21:06
Punk Punk ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 108
Punk is on a distinguished road
Post

ข้อ 3 วันที่สอง
จับคู่เลขคี่ \( (1,3),(5,7),(9,11),\ldots\) เรียกว่า \( (a_i,b_i)\) นิยาม
\[
f(n)=\begin{cases}b_i,&\text{ถ้า}\,\,n=a_i\\
2a_i,&\text{ถ้า}\,\,n=b_i\\
2f(n/2),&\text{ถ้า}\,\,n\,\,\text{เป็นเลขคู่}
\end{cases}
\]
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 21:20
Punk Punk ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณบริสุทธิ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 108
Punk is on a distinguished road
Post

ข้อ 6 วันที่สอง
กรณี \( abc\neq0 \) ให้ \( x=a/(a-b),y=b/(b-c),z=c/(c-a) \) ซึ่งจะได้ว่า
\[
bx=(x-1)a,cy=(y-1)b,az=(z-1)c\Longrightarrow abc(xyz-(x-1)(y-1)(z-1))=0
\]
ดังนั้น \( x+y+z=xy+yz+zx+1 \)

พิจารณาเทอมซ้ายมือของอสมการ ซึ่งเท่ากับ
\[
(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)+5=(x+y+z)^2+5\geq5
\]
กรณี \( abc=0 \) ก็ทำแบบเดียวกับของน้อง gools

08 พฤษภาคม 2005 23:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Punk
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 08 พฤษภาคม 2005, 21:42
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Post

มาแล้วครับ เซียนของจริง
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 09 พฤษภาคม 2005, 02:52
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Post

ข้อ 13 ผมว่าจัดรูปได้ m(2k+5(m-1)) =2373 นะครับ หลังจากนั้น ก็คิดคล้ายๆ คุณ nongtum ก็จะได้ k= 181
ข้อ 1(วันแรก) รบกวนคุณ nongtum ขยายความบรรทัดที่หา AD แบบละเอียดกว่านี้นิดนึงได้ไหมครับ

ส่วนข้อ 3 (วันแรก) ขอเสนออีกวิธีที่คำนวณออกมาเป็น ค่าที่ไม่ติด sin ครับ
ลาก เส้นแบ่งครึ่งมุม BD พบ AC ที่ D
ถ้า AB=a ,BC=b จะได้ AD=BD=b และ DC=a-b
พิจารณา สามเหลี่ยม ABD ,by law of sine จะได้
\( \large \frac{a}{sin72^{\circ}}= \frac{b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}= 2cos36^{\circ}\).....(1)
พิจารณา สามเหลี่ยม BDC ,by law of sine จะได้
\( \large \frac{b}{sin72^{\circ}}= \frac{a-b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}-1= \frac{1}{2cos36^{\circ}}\).....(2)
ให้ x= a/b ซึ่งคือค่าที่โจทย์ต้องการ ดังนั้น จาก (1) ,(2) จะได้
x2 -x-1=0 ได้ \( \large x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
หมายเหตุ : จากคำตอบของคุณ nongtum ผสมกับ คำตอบของผม ยังได้วิธีการ derive ค่า sine ของมุม 18 องศา อีกทางเลือกหนึ่งด้วย

ปิดท้ายด้วย ข้อ 1 วันที่ 2
หลังจากวาดรูปเสร็จแล้ว reflect สามเหลี่ยม BFC และ GH ไปอีกครึ่งของวงกลม กลายเป็น สามเหลี่ยม BfC และ gH ตามลำดับ
จะได้คอร์ด Gg ตัด BC ที่ H ดังนั้น (GH)(GH)=(GH)(gH) = (BH)(HC).....(1)
ถ้า กำหนด มุม ABE เป็น x องศา จะได้มุม BFC= 90+x = BfC และ มุม BAC=90-x
ดังนั้น BfC +BAC =180 องศา แสดงว่า สี่เหลี่ยม ABfC เป็น cyclic
ด้วยเหตุผลคล้ายกับสมการ (1) จะได้(AH)(HF)= (AH)(Hf)=(BH)(HC) ........(2)
จาก (1),(2) completes the proof

หมายเหตุ : ผมชอบฟังก์ชันที่คุณ Punk ตอบข้อ 3 วันที่ 2 มากครับ ถ้า unique ด้วยก็เจ๋งเลยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว

09 พฤษภาคม 2005 02:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ passer-by
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 09 พฤษภาคม 2005, 04:12
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
[QB]ข้อ 13 ผมว่าจัดรูปได้ m(2k+5(m-1)) =2373 นะครับ หลังจากนั้น ก็คิดคล้ายๆ คุณ nongtum ก็จะได้ k= 181
ข้อ 1(วันแรก) รบกวนคุณ nongtum ขยายความบรรทัดที่หา AD แบบละเอียดกว่านี้นิดนึงได้ไหมครับ
AYE! รวมเลขผิดอีกแล้ว -_-' ตามไปแก้และขยายที่กระทู้ข้างบนแล้วครับ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ส่วนข้อ 3 (วันแรก) ขอเสนออีกวิธีที่คำนวณออกมาเป็น ค่าที่ไม่ติด sin ครับ
ลาก เส้นแบ่งครึ่งมุม BD พบ AC ที่ D
ถ้า AB=a ,BC=b จะได้ AD=BD=b และ DC=a-b
พิจารณา สามเหลี่ยม ABD ,by law of sine จะได้
\( \large \frac{a}{sin72^{\circ}}= \frac{b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}= 2cos36^{\circ}\).....(1)
พิจารณา สามเหลี่ยม BDC ,by law of sine จะได้
\( \large \frac{b}{sin72^{\circ}}= \frac{a-b}{sin36^{\circ}} \) หรือ จัดรูปเป็น \( \large \frac{a}{b}-1= \frac{1}{2cos36^{\circ}}\).....(2)
ให้ x= a/b ซึ่งคือค่าที่โจทย์ต้องการ ดังนั้น จาก (1) ,(2) จะได้
x2 -x-1=0 ได้ \( \large x=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
หมายเหตุ : จากคำตอบของคุณ nongtum ผสมกับ คำตอบของผม ยังได้วิธีการ derive ค่า sine ของมุม 18 องศา อีกทางเลือกหนึ่งด้วย
ขอสารภาพครับว่าตอนคิดเองเมื่อวานคิดค่า sin 18 ไม่ออก ทั้งๆที่เคยคิดได้ตอนอยู่มอห้า (หกเจ็ดปีก่อน) ขอบคุณคุณ passer-by ครับที่ช่วยรื้อกรุเทคนิคในสมองผม

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
ปิดท้ายด้วย ข้อ 1 วันที่ 2
หลังจากวาดรูปเสร็จแล้ว reflect สามเหลี่ยม BFC และ GH ไปอีกครึ่งของวงกลม กลายเป็น สามเหลี่ยม BfC และ gH ตามลำดับ
จะได้คอร์ด Gg ตัด BC ที่ H ดังนั้น (GH)(GH)=(GH)(gH) = (BH)(HC).....(1)
ถ้า กำหนด มุม ABE เป็น x องศา จะได้มุม BFC= 90+x = BfC และ มุม BAC=90-x
ดังนั้น BfC +BAC =180 องศา แสดงว่า สี่เหลี่ยม ABfC เป็น cyclic
ด้วยเหตุผลคล้ายกับสมการ (1) จะได้(AH)(HF)= (AH)(Hf)=(BH)(HC) ........(2)
จาก (1),(2) completes the proof
ข้อนี้ผมคิดไปคิดมาออกทะเลไปเลย ที่จริงคิดไม่ลึกเลยนะนี่
อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ passer-by:
หมายเหตุ : ผมชอบฟังก์ชันที่คุณ Punk ตอบข้อ 3 วันที่ 2 มากครับ ถ้า unique ด้วยก็เจ๋งเลยครับ
ข้อนี้ผมคิดได้แค่ว่า f(f(m+n))=f(f(m))+f(f(n)) เท่านั้นเองครับ
เพราะมีคนเก่งๆแบบนี้ไงครับถึงชอบบอร์ดนี้ เวลาเล่นทีไรไม่ต้องทำอย่างอื่นกัน
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 09 พฤษภาคม 2005, 19:39
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Post

เป็นอันว่าคำตอบ ข้อ 1 วันแรก ของผมกับ คุณ nongtum ตรงกันครับ เพียงแต่คิดคนละวิธี (รู้สึก วิธีของผมจะคิดมากไปหน่อย) ยังไงก็ขอบคุณ คุณ nongtum ที่ปลีกเวลายุ่งๆจากการบ้านมหาศาล มาตอบให้ครับ
ตอนนี้ คำถามที่เหลือส่วนใหญ่ ก็เป็น number theory ,combinatorics (และ geometry อีก 1ข้อ) รอเซียนที่ว่างๆ สำแดงเดช ตามสบายเลยครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 10 พฤษภาคม 2005, 09:59
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ข้อ 2 ครับ คำตอบคือ \(\frac{1}{2}\) เพราะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 10 พฤษภาคม 2005, 17:25
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ gools:
ข้อ 2 ครับ คำตอบคือ \(\frac{1}{2}\) เพราะเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า
ช่วยขยายความหรือพิสูจน์ได้ไหมครับ ว่าทำไม H จึงเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม (ที่เหลือ clear ครับ)
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 10 พฤษภาคม 2005, 20:40
gools's Avatar
gools gools ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 26 เมษายน 2004
ข้อความ: 390
gools is on a distinguished road
Post

ขอโทษทีครับ คิดตื้น ๆ ไปหน่อย
เราได้ว่า
\[\frac{AB\times BC \times CA}{4 \times \text{พท. สามเหลี่ยม ABC}}=\frac{AB\times BC \times CA}{4 \times \frac{1}{2} \times BC \times CA \sin C}=\frac{AB}{2 \sin C}=\frac{A'B}{2 \sin \angle BAA' \sin C }=BH\]
\[\text{ดังนั้น}\qquad \sin \angle BAA' =\frac{A'B}{AB}= \frac{A'B}{2 BH \sin C }=\frac{1}{2}\]

ข้อ 11 ลองแยกตัวประกอบ \(x^{2005}+1\) ดูครับ จะพบว่าไม่มีคำตอบ

10 พฤษภาคม 2005 20:43 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gools
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 11 พฤษภาคม 2005, 04:06
passer-by passer-by ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 เมษายน 2005
ข้อความ: 1,442
passer-by is on a distinguished road
Post

เพิ่งถึงบางอ้อเมื่อกี๊นี้เอง ว่าทำไม คนตั้งโจทย์ ถึงกำหนด BH เท่ากับรัศมี circumscribed circle
งั้น ผมขอเสนอ อีกวิธีสำหรับข้อ 2 (วันแรก) แล้วกันครับ
จาก law of sine
\(\huge \frac{AB}{sin(C)}=2R=2BH \) ......(1) (R: radius of circumscribed circle)
แต่สามเหลี่ยม A'BH คล้ายกับสามเหลี่ยม BB'C ดังนั้น มุม C เท่ากับมุม BHA'
จาก (1) ประกอบกับเหตุผลบรรทัดก่อน จะได้
\( \huge \frac{AB}{2BH}=sin(C)=sin(BHA')= \frac{A'B}{BH} \)
ดังนั้น \( \huge \frac{A'B}{AB}= \frac{1}{2} \)
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 11 พฤษภาคม 2005, 08:39
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Post

ข้อ 10 (คิดตั้งนาน กว่าจะรู้ว่าใช้ทฤษฎีที่เพิ่งเรียนมาใช้ได้ ใครที่ทำง่ายกว่านี้ หรือหาที่ผิดเจอ ช่วยบอกด้วยนะครับ)
ตอนนี้คงเหลือแต่โจทย์แนว combinatorics ละมังครับ ^_^
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:29


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha