Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #16  
Old 26 ตุลาคม 2012, 18:06
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
ขอลองทำ ALGEBRA ข้อ1
$(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)$......เพราะ $x^5-x^4=x^2(x^3-x^2)=x^2$
$=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

$p(x)=x^3-x^2-1=(x-a)(x-b)(x-c)$
แทน $x=i$ จะได้ว่า $i^3-i^2-1=-i=(i-a)(i-b)(i-c)$
$(a-i)(b-i)(c-i)=i$.....(1)
แทน $x=-i$ จะได้ว่า $-i^3-i^2-1=i=(-i-a)(-i-b)(-i-c)$
$(a+i)(b+i)(c+i)=-i$.....(2)
(1)คูณ(2) $(a+1)(b+1)(c+1)=-i^2=1$
ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #17  
Old 26 ตุลาคม 2012, 19:15
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

3. Algebra
ให่ $\frac{a}{b} =x$ $\frac{b}{c} =y$ $\frac{c}{a} =z$
จากจะได้ $x+y+z=xy+yz+zx$
$1-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$
$(1-x)(1-y)(1-z)=0$
$\frac{a-b}{b} \frac{b-c}{c} \frac{c-a}{a} =0$
ได้ $a=b$ $b=c$ หรือ $c=a$
WLOG ให้ $a=b$
จะได้
$(\frac{a}{b} )^c+(\frac{b}{c} )^a+(\frac{c}{a} )^b=1+(\frac{a}{c} )^b+(\frac{c}{b} )^a=(\frac{b}{a} )^c+(\frac{c}{b} )^a+(\frac{a}{c} )^b$
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #18  
Old 26 ตุลาคม 2012, 21:08
Euler-Fermat's Avatar
Euler-Fermat Euler-Fermat ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ตุลาคม 2011
ข้อความ: 448
Euler-Fermat is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$
ว้าววว ลืมดูไปเลย ไปนั่งกระจายยุ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #19  
Old 27 ตุลาคม 2012, 10:10
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

wowwwww.....ลืมทำต่อจากตอนแรก ขอบคุณคุณNoooNuiiครับ ผมทำตามความคุ้นเคยจนลืมที่จะมองต่อ เป็นหลุมพรางของการวนอยู่กับความเคยชินของเราครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #20  
Old 27 ตุลาคม 2012, 10:57
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$ 3^{3n-1}+2^{n-1}=3^{3(n-1)+2}+2^{n-1}$
$=9\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
พิจารณา $2^{n-1}-3^{3(n-1)}$
$=2^{n-1}-27^{(n-1)}$
$=2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$
$(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2^{n-1}$
ดังนั้น $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

$3^{3n-1}+2^{n-1}$ หารด้วย 5 ลงตัวเพราะ
$3^{3n-1}+2^{n-1}=10\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ และ
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว และ $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #21  
Old 27 ตุลาคม 2012, 11:55
cardinopolynomial's Avatar
cardinopolynomial cardinopolynomial ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 มกราคม 2012
ข้อความ: 474
cardinopolynomial is on a distinguished road
Default

NT ข้อ 3. จากโจทย์ต้องการหา $gcd(1^9-1,2^9-2,3^9-3,....,100^9-100)$

จาก ทบ.ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก $gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c))$ นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

$gcd(gcd(1^9-1,2^9-2,3^9-3),4^9-4,5^9-5,....,100^9-100)$

$gcd(30,4^9-4,5^9-5,...,100^9-100)$

$gcd(gcd(30,4^9-4,5^9-5,....,99^9-9),100^9-100)$

$gcd(30,100^9-100)$

$30$

ผมยังไม่ค่อยเเน่ใจน่ะครับ
__________________
"Végre nem butulok tovább" ("ในที่สุด ข้าพเจ้าก็ไม่เขลาลงอีกต่อไป")
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #22  
Old 27 ตุลาคม 2012, 12:58
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii View Post
ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$
amazing ครับ

ว่าแต่ $ \ =1 \ $ มายังไงครับ ยังมึนๆอยู่
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)

27 ตุลาคม 2012 12:59 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ banker
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #23  
Old 27 ตุลาคม 2012, 13:11
Euler-Fermat's Avatar
Euler-Fermat Euler-Fermat ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 ตุลาคม 2011
ข้อความ: 448
Euler-Fermat is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker View Post
amazing ครับ

ว่าแต่ $ \ =1 \ $ มายังไงครับ ยังมึนๆอยู่
ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ ครับ เพราะ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1 = 0 $

ดังนั้น ผลคูณของราก $: abc = 1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #24  
Old 27 ตุลาคม 2012, 13:20
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$ 3^{3n-1}+2^{n-1}=3^{3(n-1)+2}+2^{n-1}$
$=9\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$ \color{red}{=(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}}$
$ \color{blue}{=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}+2^{n-1}}$
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
พิจารณา $2^{n-1}-3^{3(n-1)}$
$=2^{n-1}-27^{(n-1)}$
$=2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$
$(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2^{n-1}$
ดังนั้น $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

$3^{3n-1}+2^{n-1}$ หารด้วย 5 ลงตัวเพราะ
$3^{3n-1}+2^{n-1}=10\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ และ
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว และ $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
ตรงบรรทัดสีแดง มาน้ำเงิน

$(a-b)^n \not= a^n-b^n \ $หรือเปล่าครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #25  
Old 27 ตุลาคม 2012, 13:21
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat View Post
ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ ครับ เพราะ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1 = 0 $

ดังนั้น ผลคูณของราก $: abc = 1$

ขอบคุณครับ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #26  
Old 27 ตุลาคม 2012, 13:28
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

จาก $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
ดังนั้น $3^{3(n-1)+2}=3^2\cdot 3^{3(n-1)} $
$(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}$ ก็กระจายผลคูณธรรมดาครับ
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}$

ลุงBankerทักผมแล้วทำเอาผมเสียวๆว่าผมจำอะไรผิด เดี๋ยวลองอ่านทวนที่ตัวผมเองทำอีกที
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)

27 ตุลาคม 2012 13:31 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #27  
Old 27 ตุลาคม 2012, 13:44
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ View Post
จาก $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
ดังนั้น $3^{3(n-1)+2}=3^2\cdot 3^{3(n-1)} $
$(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}$ ก็กระจายผลคูณธรรมดาครับ
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}$

ลุงBankerทักผมแล้วทำเอาผมเสียวๆว่าผมจำอะไรผิด เดี๋ยวลองอ่านทวนที่ตัวผมเองทำอีกที
คุณกิตติถูกแล้วครับ ผมมึนเอง นึกว่าตัวหลังวงเล็บเป็นเลขชี้กำลัง

หมู่นี้สายตาแปรปรวน
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #28  
Old 27 ตุลาคม 2012, 15:31
กิตติ's Avatar
กิตติ กิตติ ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ธรรมชาติ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 08 พฤศจิกายน 2009
ข้อความ: 2,723
กิตติ is on a distinguished road
Default

Number Theory

2. ผลคูณของจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน 4 จำนวนไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ให้จำนวนทั้งสี่นั้นคือ $n,n+n,n+2,n+3$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)$
$=\left(\,(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)\right) $
$=\left(\,(n^2+3n+1)^2-1\right) $

ดังนั้นเราเขียนผลคูณของทั้งสี่จำนวนในรูปของกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก
ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม
"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย
ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #29  
Old 27 ตุลาคม 2012, 16:12
banker banker ไม่อยู่ในระบบ
เทพเซียน
 
วันที่สมัครสมาชิก: 24 มกราคม 2002
ข้อความ: 9,910
banker is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat View Post

Number Theory


4.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนอนันต์ ซึ่งทำให้ $2^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ

$\because \ 2^0 = 1$

$ 2^1 = 2$

$ 2^2 = 4$

$ 2^3 = 8$

$ 2^4 = 16$
.
.
.
$2^4 = 2^0+2^1+2^2+2^3 -1$


$2^n = 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{n-1} -1$

$2^n +3 = (2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{n-1}) +2 = \ $ จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคู่ ---> จำนวนประกอบ
__________________
มาหาความรู้ไว้ติวหลาน
แต่หลานไม่เอาเลขแล้ว
เข้ามาทำเลขเอามันอย่างเดียว

ความรู้เป็นสิ่งเดียวที่ยิ่งให้ ยิ่งมีมาก


รู้อะไรไม่สู้ รู้จักพอ
(ยกเว้นความรู้ ไม่ต้องพอก็ได้ หาไว้มากๆแหละดี)
(แต่ก็อย่าให้มากจนท่วมหัว เอาตัวไม่รอด)

27 ตุลาคม 2012 17:06 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ banker
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #30  
Old 27 ตุลาคม 2012, 16:57
lek2554's Avatar
lek2554 lek2554 ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กันยายน 2010
ข้อความ: 1,030
lek2554 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker View Post
$2^n = 2^0+2^1+2^2+2^3+...+\color{red}{n^{n-1}} -1$

$2^n +3 = (2^0+2^1+2^2+2^3+...+\color{red}{n^{n-1}} ) +2 $
หมู่นี้สายตาแปรปรวน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ข้้อสอบ สสวท ประถมต้น 2555 banker ข้อสอบในโรงเรียน ประถมต้น 55 26 มีนาคม 2014 20:37
สอวน. ศูนย์ มอ.ปัตตานี 2555 sahaete ข้อสอบโอลิมปิก 38 11 กุมภาพันธ์ 2014 17:57
ข้อสอบโครงการอัจฉริยภาพฯ วิชาคณิตศาสตร์ ป.6 2555 judi ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย 109 14 มีนาคม 2013 12:10
100 อับดับโรงเรียนที่ดีที่สุดในประเทศไทยในปี 2555 aomsin201073 ฟรีสไตล์ 12 01 ธันวาคม 2012 23:21
เฉลยข้อสอบทุน วิชาคณิตศาสตร์ ปี 2555 โดยชมรมคณิตศาสตร์ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา TU Gifted Math#10 ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย 4 01 ธันวาคม 2012 18:16

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 19:46


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha