Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 14:50
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default TMO 13 Discussion

สวัสดีครับทุกคน อยากให้กระทู้นี้เป็นกระทู้สำหรับอภิปรายข้อสอบ TMO 13 กันนะครับ

1.กำหนดให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมโดยที่ $AB\neq AC$

ถ้าเส้นแบ่งครึ่งมุม $BAC$ ตัดด้าน $BC$ ที่จุด $P$ แบะตัดเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากด้าน $BC$ ที่จุด $Q$

จงแสดงว่า $\frac{PQ}{AQ}=(\frac{BC}{AC+AB})^2$

2.ให้ $M$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $A=\left\{1,2,...,M+1\right\} $

ถ้า $f:A\rightarrow A$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จงแสดงว่า

$$\sum_{n = 1}^{M} \frac{1}{f(n)+f(n+1)} >\frac{M}{M+3}$$

3.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง

$$f(f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x))=f(x)+f(y)+f(z)$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y,z$

4.ถ้าจุดแต่ละจุดบนระนาบมีสีแดง น้ำเงิน หรือสีเขียว

จงแสดงว่า มีจุดสามจุดซึ่งมีสีเดียวกันและเป้นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

5.ให้ $p_1,p_2,...$ เป็นลำดับของจำนวนนับโดย $p_1=2$

และสำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ $p_{n+1}$ เป็นจำนวนเฉพาะค่าน้อยสุดที่หาร

$$np_1^{1!}p_2^{2!}...p_n^{n!}+1$$

ลงตัว จงแสดงว่าจำนวนเฉพาะทุกจำนวนปรากฏในลำดับ $p_1,p_2,...$

6.ถ้า $m$ และ $n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $m^{4^n+1}-1$ เป็นจำนวนเฉพาะ

จงแสดงว่า มีจำนวนเต็ม $t\geq 0$ ซึ่ง $n=2^t$

7.ให้ $P(x)=a_{2016}x^{2016}+a_{2015}x^{2015}+...+a_1x+a_0$ เป็นพหุนามดีกรี $2016$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและสอดคล้อง

$$|a_1+a_3+...+a_{2015}|>|a_0+a_2+...+a_{2016}|$$

จงแสดงว่า $P(x)$ มีรากเป้นจำนวนจริงที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า $1$ อยู่เป็นจำนวนคี่ตัว (นับรากตามจำนวนการซ้ำ)

8.กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม ซึ่งมี $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน

เส้นตรงซึ่งผ่านจุด $I$ และขนานกับด้าน $AB$ ตัดด้าน $AC$ ที่จุด $M$

เส้นตรงซึ่งผ่านจุด $I$ และขนานกับด้าน $AC$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $N$

และเส้นตรง $MN$ ตัดวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่จุด $X,Y$

ถ้า $Z$ เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง $BC$ (ที่ไม่มีจุด $A$) ของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม $ABC$ แล้ว

จงแสดงว่า $I$ เป็นจุด Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยม $XYZ$

9.ให้จำนวนจริง $a\neq 0$ จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่ง

$$f(x)f(y)+f(x+y)=axy$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$

10."เหรียญปัตตาโน" คือเหรียญซึ่งหน้าหนึ่งมีสีฟ้าและอีกหน้าหนึ่งมีสีเหลือง โดยแต่ละหน้ามีจำนวนนับค่าไม่เกิน $100$ กำกับไว้หน้าละหนึ่งจำนวน

เหรียญปัตตาโนสองเหรียญ "เหมือนกัน" ก็ต่อเมื่อ จำนวนบนหน้าสีฟ้าของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน และ จำนวนบนหน้าสีเหลืองของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน

เหรียญปัตตาโนสองเหรียญ "ประกบกันได้" ก็ต่อเมื่อ จำนวนบนหน้าสีฟ้าของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน หรือ จำนวนบนหน้าสีเหลืองของทั้งสองเหรียญมีค่าเท่ากัน

ถ้ามีเหรียญปัตตาโน $2559$ เหรียญ โดยไม่มีสองเหรียญใดเหมือนกัน แล้วจงแสดงว่า

มีเหรียญปัตตาโนอย่างน้องหนึ่งเหรียญซึ่งประกบกันได้กับเหรียญอื่นๆ อีกอย่างน้อย $50$ เหรียญ
__________________
I'm Back

19 พฤษภาคม 2016 12:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 16:01
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

__________________
I'm Back

19 พฤษภาคม 2016 20:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 8 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 18:24
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

ถ้าเทียบกับ TMO12 คาดว่าข้อสอบปีนี้ยากขึ้นหรือง่ายลงครับ
ทำคะแนนประมาณเท่าไหร่ถึงเหรียญครับ
__________________
MD:CU
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 19:13
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

For $9$
We have $f(x)^2+f(2x)=ax^2$ , $f(x)f(-x)+f(0)=-ax^2$ and $f(2x)f(-x)+f(x)=-2ax^2$ then just solve the system equation with $3$ variables
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 19:22
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

For $7$, Let $x=a_{2016}+a_{2014} +...+a_0$ and $b=a_{2015}+a_{2013}+...+a_1$, suppose that $P(1)P(-1)\geq 0$
Give us $(x+y)(x-y)\geq 0$, so $|x|\geq |y|$ contradiction, so $P(1)P(-1)<0$
Suppose $-1<r_1<r_2<...<r_{2t}<1$ are root of $P(x)$, then IMV give us $P(1)$ and $P(-1)$ have same sign, contradiction, this finish the prove
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 19:36
ThE-dArK-lOrD ThE-dArK-lOrD ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 01 เมษายน 2016
ข้อความ: 22
ThE-dArK-lOrD is on a distinguished road
Default

For $5$, Let $q$ is smallest prime that not in those sequence, We consider $n$ such that $n\cdot (\Pi_{i=1}^{q-2}{p_i^{i!}}) \equiv_q 1$ (Obviously exist)
For this $n$ we get $q\mid n\cdot (p_1^{1!}p_2^{2!}\cdot ... \cdot p_{q-2}^{(q-2)!}\cdot ... \cdot p_n^{n!})+1$ (Since $p_l^{l!} \equiv_q 1$ when $l\geq q-1$ by Fermat's Litttle)
And since all of prime less than $q$ is in this sequence (We can choose $n$ as big as we want), so $p_n=q$, contradiction

18 พฤษภาคม 2016 19:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ThE-dArK-lOrD
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 18 พฤษภาคม 2016, 22:58
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

ยินดีกับคุณ Beatmania ด้วยครับที่ข้อสอบได้ไปออกเป็นข้อ 3 กับ 5

ลองเรียงความยากของข้อสอบดู
วันแรก 2<1<5<4<3
วันที่สอง 6<7<9<10<8
ถ้าเทียบกันข้อต่อข้อแล้ววันที่สองง่ายกว่าวันแรก

คิดว่าน่าจะง่ายกว่า TMO ปีที่แล้วเพราะมีข้อแจกแต้ม (ทุกคนควรทำได้) เยอะกว่าครับ
อนึ่งความยากขึ้นกับบุคคล
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 19 พฤษภาคม 2016, 12:30
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Nonpawit12345 View Post
ถ้าเทียบกับ TMO12 คาดว่าข้อสอบปีนี้ยากขึ้นหรือง่ายลงครับ
ทำคะแนนประมาณเท่าไหร่ถึงเหรียญครับ
เท่าที่เทียบตามข้อ ผมคิดว่าปีนี้ยากขึ้นพอประมาณครับ

ส่วนคะแนนยังไม่ค่อยแน่ใจเท่าไหร่ครับ - -" กะประมาณไม่ค่อยถูก

ส่วนตัวแล้ว คิดว่าความยากของข้อสอบเรียงแบบนี้ครับ

1: 2<1=3<4<5
2: 6=8<7=9<10
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 19 พฤษภาคม 2016, 15:44
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ข้อ 7 ยากสุดสำหรับปีนี้ (ได้ยังไงก็ไม่รู้) มีคนได้เต็มแค่ 3 คน
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 19 พฤษภาคม 2016, 15:55
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

อาจารย์ครับ แล้วสถิติข้ออื่นๆ ล่ะครับๆ

แต่ข้อสอบปีนี้น่าสนใจจริงๆ มีสวยๆ (ไม่นับข้อผม) หลายข้อเหมือนกันๆ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 19 พฤษภาคม 2016, 16:15
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ข้ออื่นทำกันได้เยอะครับ ที่ 1 น่าจะได้เกิน 60 คะแนนและเป็นม้ามืด
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 19 พฤษภาคม 2016, 16:20
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับ ปีนี้น่าสนใจจริงๆ ครับ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 19 พฤษภาคม 2016, 16:26
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

ข้อสอบทุกข้อปีนี้มาจากศูนย์สอวน ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 20 พฤษภาคม 2016, 12:12
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ขอแสดงความยินดีกับทุกคนที่ได้รับเหรียญนะครับ

อยากทราบสถิติ + Cutoff ปีนี้ครับ
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 20 พฤษภาคม 2016, 12:26
Nonpawit12345's Avatar
Nonpawit12345 Nonpawit12345 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 07 กรกฎาคม 2015
ข้อความ: 37
Nonpawit12345 is on a distinguished road
Default

ถ้าจำไม่ผิดทองแดงตัดที่ 12 ครับ
อื่นๆไม่แน่ใจครับ
__________________
MD:CU
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Topic for discussion คนอ่อนคณิต ทฤษฎีจำนวน 1 06 มกราคม 2009 17:54

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:12


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha