|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์เกี่ยวกับ calculus
โจทย์ 5-6 ข้อที่ผมโพสต์ไปเมื่อเร็วๆนี้เป็นโจทย์เกี่ยวกับ
algebra ทั้งหมดแล้วก็เป็นโจทย์ประเภทใช้การคำนวณ ทั้งหมดด้วย คราวนี้ลองมาดูโจทย์ analysis กันสักข้อซึ่ง คงเป็นโจทย์ข้อสุดท้ายของผมในปีนี้แล้ว โจทย์ข้อนี้ไม่เกี่ยว กับ calculation จึงมีลักษณะคล้ายคลึงกับโจทย์ L'Hospital's Rule ที่ผมโพสต์เมื่อนานมาแล้ว แต่คิดว่ายากกว่านะครับ โม้มาก็ มากมาเริ่มกันเลยดีกว่า โดย intuition (แปลไม่ถูกเหมือนกันคำนี้...โทษทีนะครับ) แล้วความหมายของประโยคที่ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องใน ช่วงปิด [a, b] ก็คือเราสามารถลากเส้นกราฟของ f จากจุด (a, f(a)) ไปยังจุด (b, f(b)) ได้โดยไม่ต้องยกมือเลย แต่จริงๆแล้วความหมายนี้ยังไม่ถูกต้องเสียทีเดียว อยากให้ ชาว Mathcenter มาช่วยกันหาตัวอย่างฟังก์ชันต่อเนื่อง ในช่วงปิด [a, b] (a, b ฮ R และ b > a) ที่เราไม่สามารถลากเส้นกราฟของ f จากจุด (a, f(a)) ไปยังจุด (b, f(b)) ได้โดยไม่ต้องยกมือ |
#2
|
|||
|
|||
ยังไม่เฉลยหรอก...เพราะยังไม่มีใครขอ
แต่ว่ามีโจทย์ไม่ยากแนว calculation มาให้ทำอีกข้อครับ ให้พิสูจน์ว่า d2x/dy2 = -(d2y/dx2)/(dy/dx)3 ถ้าทำได้แล้วก็ให้ลองหา d3x/dy3 ในเทอมของ d3y/dx3, d2y/dx2 และ dy/dx ดูนะครับ 03 มกราคม 2002 23:13 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#3
|
|||
|
|||
ปัญหาแรก จะถือว่า f(x) = 1/x ต่อเนื่องบนโดเมน [-1, 1] หรือเปล่า? ถ้าใช่ ก็ใช่
แต่ถ้าไม่ใช่ ก็ต้องขอให้คุณ warut ช่วยชี้แนะด้วย dx/dy = 1/(dy/dx) d2x/dy2 = - [d(dy/dx)/dx (dy/dx)-2]/(dy/dx) = - d2y/dx2 / (dy/dx)3 d3x/dy3 = [3(y'')2 - y'y'''] / (y')7 |
#4
|
||||
|
||||
มามั่วด้วยคน
f(x) = x เมื่อ x เป็นจำนวนตรรกยะ , = 0 เมื่อ x เป็นจำนวนอตรรกยะ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#5
|
|||
|
|||
ตัวอย่างของคุณ <-*-> ใช้ไม่ได้ครับ เพราะ f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 0
เนื่องจาก f(0) ไม่นิยาม แต่ถึงเราจะนิยาม f(0) ให้เป็นกรณี พิเศษก็ยังไม่ได้อยู่ดีเพราะ limxฎ01/x หาค่าไม่ได้ ตัวอย่างของคุณ TOP ก็ใช้ไม่ได้ครับ แต่เล่นเอาผมงงไป เหมือนกัน ตอนแรกนึกว่ามันไม่ต่อเนื่องที่จุดใดเลย คิดไปคิด มาถึงสังเกตได้ว่ามันต่อเนื่องที่ x = 0 อยู่จุดนึง คนอื่นๆก็น่า ลองศึกษาความต่อเนื่องของฟังก์ชันนี้ดูนะครับ ผมว่าน่าสนใจ มาก ทีนี้ก็มาถึงเฉลยซักที ตัวอย่างของผมก็คือ f(x) = x*sin(1/x) ถ้า x น 0 และ f(x) = 0 ถ้า x = 0 ถ้า x น 0 จะเห็นว่า f(x) ต่อเนื่องแน่นอนเพราะ x, 1/x และ sin(x) ล้วนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเมื่อ x น 0 ส่วนการพิสูจน์ความต่อเนื่องที่ x = 0 คงต้องออกแรงกัน หน่อย ผมละไว้ให้คนอื่นมาทำละกัน ถ้าเราลองเขียนกราฟของ f จะเห็นว่าเราไม่สามารถลากเส้น กราฟผ่านจุด (0,0) ได้ รูปกราฟคร่าวๆของ f ในช่วง [-0.1, -0.01] ศ {0} ศ [0.01, 0.1] เป็นดังนี้ครับ . 06 มกราคม 2002 22:25 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
#6
|
|||
|
|||
ผมขอเฉลยข้อ 2 อีกครั้งอย่างละเอียดนะครับ เผื่อว่าบางคนยังไม่เข้าใจ
d2x/dy2 = d(dx/dy)/dy = d(dx/dy)/dx*dx/dy (โดย chain rule) = d((dy/dx)-1)/dx*(dy/dx)-1 = -1*(dy/dx)-2*d(dy/dx)/dx*(dy/dx)-1 = -d2y/dx2/(dy/dx)3 ส่วน d3x/dy3 นี่รู้สึกว่าคำตอบของคุณ <-*-> จะพลาดไปหน่อยนึง ที่ถูกน่าจะเป็น (3(y'')2 - y'y''')/(y')5 มากกว่านะครับ |
#7
|
|||
|
|||
ขอบคุณคุณ warut ที่ช่วยแก้ให้อีกครั้ง
จริงๆ แล้ว ผมเห็นตัวเลขที่พิมพ์ผิดแล้วนะ ว่าจะแก้ แล้วก็ลืมไปเลย สำหรับ f(x) = x sin(1/x) (และเท่ากับ 0 เมื่อ x=0) เนี่ย พิสูจน์ได้อย่างไรว่าเราต้องยกปากกา? |
#8
|
||||
|
||||
ฟังก์ชันของคุณ warut ผมว่ามันก็ต่อเนื่องนะ แต่ที่ทำให้ดูเหมือนว่า ไม่สามารถลากเส้นกราฟข้ามจุด (0,0) ไปได้ น่าจะเป็นเพราะดูเหมือนว่า ระยะทางในการลากข้ามจุด (0,0) เป็น ฅ
แล้วฟังก์ชันของผมมันไม่ต่อเนื่องที่จุดไหนหรือ ใช้วิธีไหนตรวจสอบ
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. |
#9
|
|||
|
|||
ระยะทางเ็ป็นอนันต์ แต่ก็ต่อเนื่อง ก็ยังไม่จำเป็นว่าต้องยกปากกานี่นา??
สำหรับฟังก์ชันของคุณ top จะแสดงว่า lim f(x) ไม่มีเมื่อ x > 0 ก่อน สมมติว่ามี lim(x->a) f(x) = b เมื่อ a > 0 แน่นอนว่า b >= 0 ถ้า b = 0 เลือก epsilon = a/2 จะเลือก delta ไม่ได้ เพราะมีตรรกยะ x ในช่วง |x - a| < a/2 ที่ขัดแย้ง ถ้า b > 0 เลือก epsilon = b/2 จะเลือก delta ไม่ได้ เพราะมีอตรรกยะ x ที่ขัดแย้งเสมอ ยกเว้น lim (x->0) f(x) = 0 จึงต่อเนื่องที่ x = 0 |
#10
|
|||
|
|||
พิสูจน์ไม่ได้หรอกครับเพราะคำตอบมัน subjective จริงๆ
แนวคิดที่ว่า "เราสามารถลากเส้นกราฟได้โดยไม่ต้องยกมือ เลย" มันก็ไม่ rigorous อยู่แล้ว แต่ว่าตัวอย่างนี้ผมไม่ใช่คน make ขึ้นมาเองนะ และผมก็ไม่ใช่คนเดียวที่คิดว่ากราฟอันนี้ มันเขียนไม่ได้ ที่ผมคิดว่ากราฟอันนี้มันเขียนไม่ได้ไม่ใช่เพราะ ระยะทางเป็นอนันต์นะครับ (จริงๆแล้วเป็นอนันต์รึเปล่าผมก็ ไม่รู้) แต่ผมเห็นว่าจำนวนครั้งที่ขึ้นลงของกราฟในช่วงจำกัด มีเป็นอนันต์ก็เลยเขียนไม่ได้ แน่นอนเนื่องจากมันเป็นคำถามที่ subjective ก็ย่อมจะต้องมีคนที่มีความเห็นแตกต่างกันออก ไปเป็นธรรมดา |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Calculus Marathon (2) | nongtum | Calculus and Analysis | 134 | 03 ตุลาคม 2013 16:32 |
calculus ในฟิสิกส์ | kanakon | Calculus and Analysis | 2 | 12 พฤษภาคม 2007 19:19 |
โจทย์ Calculus | jabza | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 30 มิถุนายน 2006 08:18 |
calculus | nonghab | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 4 | 22 ธันวาคม 2001 22:27 |
ถามเรื่อง Calculus หน่อยครับ | Hell | Calculus and Analysis | 7 | 02 ตุลาคม 2001 22:59 |
|
|