Warm Up for POSN Camp#2

[Euler-Fermat]

CRT ก็น่าจะออกแล้วนะครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

HINT

ใช้ midpoint $CD$ ไล่มุม และ สามเหลี่ยมคล้าย

ขอ hint เพิ่มหน่อยครับ ยากเหลือเกิน ผมรู้ว่ามันจะโยงไป EF อย่างไรน่ะครับ

[ปากกาเซียน]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ข้อต่อไป
สี่เหลี่ยมนูนABCD concyclic. ให้MและNเป็นจุดกึ่งกลางเส้นทแยงมุมACและBD กำหนดABตัดCDที่E ADตัดBCที่F. AB=1 BC=2 CD=3 DA=4
จงหาMN/EF (TUGMOs)

ทำตาม hint เพื่อหา NM ส่วน FE ใช้กฎของ cosได้ครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ปากกาเซียน

ทำตาม hint เพื่อหา NM ส่วน FE ใช้กฎของ cosได้ครับ

ลองเขียนมาหน่อยได้ไหมครับ

[BLACK-Dragon]

ฝากข้อนี้ด้วยครับ (เจอใน facebook)

ให้สามเหลี่ยม ABC มี $A\hat{B} C =15^{\circ}$ และ $BH\bot AC$ ที่ H และ M เป็นจุดกึ่งกลาง AC โดย M อยู่ระหว่าง H กับ C ถ้า $MH=114\sqrt{3}$ และ $A\hat{B}H = M\hat{B}C$ จงหา AC

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

1.หา $f: \mathbf {N} \rightarrow \mathbf{N}$ ที่ $f(m)f(n)=f(2m+2n)$

2.หาจำนวนเฉพาะ p ที่ $p| \dbinom{100}{p}+11$

3.จงแสดงว่าเมื่อเลือกจำนวนจริงที่แตกต่าง 13 จำนวนใดๆ มาจะต้องมีสองตัวจากจำนวนนั้นที่เรียก 'x,y' ซึ่ง $0<\dfrac{x-y}{1+xy} \leq 2-\sqrt{3}$

[ปากกาเซียน]

ข้อ 3 ใช้tan กับรังนกครับ

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#58 ข้อเรขาน่ะผมขอดูวิธีทำหน่อยครับ

[Thgx0312555]

ข้อหนึ่ง

Solution

เมื่อ $m \ge 1$

$f(1)f(m) = f(2m+2)$
$f(2)f(m-1) = f(2m+2)$
$\therefore f(m)=\dfrac{f(2)}{f(1)} \cdot f(m-1)$

By induction $f(m) = ab^m$ เมื่อ $ a=\dfrac{f(1)^2}{f(2)}, b=\dfrac{f(2)}{f(1)}$
แทนค่ากลับได้ $a=b^{m+n}$ สำหรับทุก $m,n$
$b^k$ เป็นค่าคงที่
$\therefore b=1$

$a=b^{m+n}=1$
$\therefore f(m)=1$

ข้อสอง

hint

$\left\lfloor \dfrac{n}{p} \right\rfloor \equiv \dbinom{n}{p} \pmod p$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

#47 ใครก็ได้ช่วยทำต่อหน่อยได้ไหมครับ ผมตันมมาก

#60 ถูกแล้วครับ

จงหา $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N} $ ซึ่ง $f(xy+x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)$

[ความรู้ยังอ่อนด้อย]

Lemma: #60

ให้ $n= ap+b$ โดย $0 \leq b <p$ จะได้

$\dbinom {n}{p} = \dfrac{n(n-1)(n-2)...(n-p+1)}{p!}$

$\left\{\,0,1,2,...,p-1\right\} = \left\{\,n-1,n-2,...,n-p+1\right\} $ ในระบบ modulo p

$\dbinom{n}{p} = \dfrac{(ap+b)(ap+b-1)(ap+b-2)...(ap)...(ap+b-p+1)}{p!} \equiv \dfrac{a(p-1)!}{(p-1)!} \equiv a \pmod{p}$

$\dbinom{n}{p} \equiv \left\lfloor \dfrac{n}{p} \right\rfloor \pmod{p}$

เป็นพิสูจน์ เผื่อใครยังไม่รู้

[Form]

กำหนดให้ $m$ เป็นจำนวนนับ จงพิสูจน์ว่าจะมีจำนวนเต็ม $a,b$ ที่$ -m\leqslant a,b\leqslant m$
และ $ 0 < a+b\sqrt{2} \leqslant \frac{1+\sqrt{2} }{m+2} $
#รังนก

[Beatmania]

ร่อนเรขาแล้วกันนะครับ
1.ถ้า $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม และมีจุด $P$ อยู่ภายใน
ลาก $AP ,BP ,CP$ ตัดด้านตรงข้ามที่จุด $D ,E ,F$ ตามลำดับ
ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PFA, PDB ,PEC$ เท่ากับ 1 ตารางหน่วย
แล้วจงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$

[TU Gifted Math#10]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

1.ถ้า $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม และมีจุด $P$ อยู่ภายใน
ลาก $AP ,BP ,CP$ ตัดด้านตรงข้ามที่จุด $D ,E ,F$ ตามลำดับ
ถ้าพื้นที่ของสามเหลี่ยม $PFA, PDB ,PEC$ เท่ากับ 1 ตารางหน่วย
แล้วจงหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม $ABC$

APMO 2012 Problem 1

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

1. จงหาจำนวนนับ $2<a<b<c$ ซึ่ง $\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)} $ เป็นจำนวนเต็ม

Hint

$\dfrac{abc-1}{(a-1)(b-1)(c-1)}\leq \dfrac{abc}{(a-1)(b-1)(c-1)}=\dfrac{a}{a-1}\dfrac{b}{b-1}<2^3$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย

จงหา $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N} $ ซึ่ง $f(xy+x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)$

Hint

$P(x,y)$ be the assertion $x,y$ to the equation $f(xy+x+y)=f(x)+f(y)+f(xy) $
See$ P(2x+1,y)$

[Thgx0312555]

ข้อนี้ง่ายๆครับ
ให้ $n$ เป็นจำนวนคู่ที่มากกว่า $2$ และ $f : \left\{ 1,2,...,n \right\} \rightarrow \mathbb{N}$
ถ้าในเซตของ $\left\{ |f(1)-1|, |f(2)-2|, |f(3)-3|, ..., |f(n)-n| \right\} \cap \left\{ 1,3,5,7,... \right\}$ มีจำนวนสมาชิกเป็นจำนวนคี่
จงพิสูจน์ว่าจะมี $i,j \in \left\{ 1,2,...,n \right\}$ ที่แตกต่างกันซึ่ง $n \ | \ (f(i)-f(j))$