Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ข้อสอบโอลิมปิก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 10 กรกฎาคม 2015, 16:48
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default IMO 56th 2015, Chiang Mai

ข้อสอบโอลิมปิกที่เชียงใหม่ครับ


__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.

11 กรกฎาคม 2015 16:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ nongtum
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 10 กรกฎาคม 2015, 16:54
Beatmania's Avatar
Beatmania Beatmania ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 พฤษภาคม 2011
ข้อความ: 279
Beatmania is on a distinguished road
Default

ทำไมเขาชอบเอา Geometry มาลงข้อสามอ่ะครับ - -" เห็นแล้วสงสารคนชอบเรขา
__________________
I'm Back
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 11 กรกฎาคม 2015, 16:44
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default

อัพโหลดครบสองวันแล้วครับ ใครใคร่แชร์ใคร่แสดงฝีมือ เชิญได้เลยครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 14 กรกฎาคม 2015, 14:25
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default


ปล.ตอนนี้คิดได้ข้อเดียวก็ดีใจเเย่เเล้วครับ
ปล2. ผมงงโจทย์ข้อ 6 อ่ะครับ $N$ นี่เกี่ยวไรด้วย
__________________
Vouloir c'est pouvoir

14 กรกฎาคม 2015 14:53 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 14 กรกฎาคม 2015, 15:30
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

เหมือนจะเป็นอีกวิธีที่ไม่เหมือนกับผู้เข้าแข่งขันคนใดเลยนะครับเนี่ย รวมทั้ง official solution ด้วย

เยี่ยมครับ ได้ 7 คะแนนเต็ม

ป.ล. Case $f(0)=0$ สามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากครับว่า $f(1)=1$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 14 กรกฎาคม 2015, 15:34
nooonuii nooonuii ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 25 พฤษภาคม 2001
ข้อความ: 6,408
nooonuii is on a distinguished road
Default

จริงๆแล้วโจทย์ข้อ 4,5,6 ควรจะเป็นโจทย์อีกชุดนึงครับ

แต่เนื่องจากเกิดความผิดพลาดทางเทคนิค ทาง Jury จึงเปลี่ยนโจทย์ออกมาเป็นอย่างที่เห็น

ซึ่งข้อ 5 นี้เข้าทางเด็กไทยมากทำกันได้เยอะเลยในขณะที่ทีมระดับ TOP10 พลาดข้อนี้กันไปเยอะ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 14 กรกฎาคม 2015, 20:43
nongtum's Avatar
nongtum nongtum ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎทั่วไป
 
วันที่สมัครสมาชิก: 10 เมษายน 2005
ข้อความ: 3,246
nongtum is on a distinguished road
Default

งี้แสดงว่าที่ลือๆใน AoPS ก็มีมูลนะสิครับ
__________________
คนไทยร่วมใจอย่าใช้ภาษาวิบัติ
ฝึกพิมพ์สัญลักษณ์สักนิด ชีวิต(คนตอบและคนถาม)จะง่ายขึ้นเยอะ (จริงๆนะ)

Stay Hungry. Stay Foolish.
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 15 กรกฎาคม 2015, 06:06
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

ขอบคุณครับ ผมก็ทราบมาว่าข้อสอบวันที่สองเดิมรั่วจึงต้องเปลี่ยน

รบดวนอธิบายข้อที่ 6 ทีครับ ผมไม่เข้าใจจริงๆ
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 15 กรกฎาคม 2015, 16:35
ความรู้ยังอ่อนด้อย's Avatar
ความรู้ยังอ่อนด้อย ความรู้ยังอ่อนด้อย ไม่อยู่ในระบบ
จอมยุทธ์หน้าหยก
 
วันที่สมัครสมาชิก: 18 กันยายน 2010
ข้อความ: 175
ความรู้ยังอ่อนด้อย is on a distinguished road
Default

อยากรู้คะแนนทีมไทยจังเลยครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 15 กรกฎาคม 2015, 19:42
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย View Post
อยากรู้คะแนนทีมไทยจังเลยครับ
ตามนี้ครับ. http://www.imo-official.org/team_r.a...=THA&year=2015
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 17 กรกฎาคม 2015, 11:13
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post

กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$
จริงๆเเล้วผมพบว่ามันผิดนะครับ ต้องขออภัยด้วย
พิสูจน์ได้โดยง่ายจากการเเทน $y=0$ ในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x))=x+f(x)$ เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ ทำให้ได้ $f(2f(x))=2f(x)$
จากนั้น เเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$$
เเล้ว เเทน $x$ ด้วย $y+f(x)$ ได้ว่า $$2f(x)+f(yf(x))=f(2f(x))+f(yf(x))=2f(x)+yf(x)\rightarrow f(yf(x))=yf(x)$$
จึงได้ $f(x)=x$ ตามต้องการ
__________________
Vouloir c'est pouvoir

17 กรกฎาคม 2015 12:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 20 กรกฎาคม 2015, 10:43
OsTan OsTan ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 เมษายน 2008
ข้อความ: 8
OsTan is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
จริงๆเเล้วผมพบว่ามันผิดนะครับ ต้องขออภัยด้วย
พิสูจน์ได้โดยง่ายจากการเเทน $y=0$ ในสมการเริ่มต้นได้ว่า $f(x+f(x))=x+f(x)$ เเทน $x$ ด้วย $f(x)$ ทำให้ได้ $f(2f(x))=2f(x)$
จากนั้น เเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$$
เเล้ว เเทน $x$ ด้วย $y+f(x)$ ได้ว่า $$2f(x)+f(yf(x))=f(2f(x))+f(yf(x))=2f(x)+yf(x)\rightarrow f(yf(x))=yf(x)$$
จึงได้ $f(x)=x$ ตามต้องการ
เผอิญผ่านมาเห็น ตรงสีแดงน่าจะเป็นแบบข้างล่างมากกว่าหรือเปล่าครับ
$$f\big(f(x)+f(y+f(x))\big)+f(yf(x))=f(x)+f(y+f(x))+yf(x)$$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 23 กรกฎาคม 2015, 23:15
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OsTan View Post
เผอิญผ่านมาเห็น ตรงสีแดงน่าจะเป็นแบบข้างล่างมากกว่าหรือเปล่าครับ
$$f\big(f(x)+f(y+f(x))\big)+f(yf(x))=f(x)+f(y+f(x))+yf(x)$$
เขาหมายถึง store $x$ ด้วย $y+f(x)$ ในสมการข้างบน

$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$ สมการนี้ครับ

ก็จะได้ตามที่พิมพ์มาแหละครับ

------------------------------------------------------------------
# คุณจูกัดเหลียง ถ้าผมชมว่า solution สวยมาก ตอนนี้ยังสายไปไหมครับ

Edit ที่ 2

สมการสุดท้ายที่เอาไว้สรุปคำตอบ $f(yf(x))=yf(x)$ สมการนี้แทน $x=1$

ต้องอ้างผลจาก $f(1)=1$ ด้วยครับ (ซึ่งหาได้จาก $f(-1)=-1$ มั้งถ้าจำไม่ผิดครับ)

นอกนั้นจากที่อ่านๆดูยังไม่มีที่ผิดครับ

ส่วน Edit ที่ 1 ถ้าผิดเฉพาะตรงสีแดงๆ ลองแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ ใน original ดูครับ

จะได้ $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$ แล้วแทน $x$ ด้วย $x-y$ ในสมการล่าสุด

จะได้ $f(-yf(x))=yf(-f(x))$ แทน $x=1$ แล้วใช้ผลของ $f(-1)$ กับ $f(1)$ มาสรุปได้เลย

ถ้าส่วนข้างบนของคุณจูไม่มีอะไรพลาดแก้ตามข้างบนก็ได้ครับ

ถือว่าคุณจูกัดเหลียงคิดออกมาได้ 2 solution เลยนะ

-------------------------------------------------------

ส่วนข้อ 6 ไว้ค่อยคุยกันครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #14  
Old 27 กรกฎาคม 2015, 11:46
OsTan OsTan ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 13 เมษายน 2008
ข้อความ: 8
OsTan is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post
เขาหมายถึง store $x$ ด้วย $y+f(x)$ ในสมการข้างบน

$f(x-y+f(x))+f(y(x-y))=x-y+f(x)+yf(x-y)$ สมการนี้ครับ

ก็จะได้ตามที่พิมพ์มาแหละครับ
รบกวนถามอีกนิดนึงนะครับ

เข้าใจว่าหมายความว่า แทน $x=y+f(x)$ โดยที่ $x$ ตัวแรกกับตัวหลังเป็นตัวเดียวกัน (คือมีค่าเท่ากับแทน $y=x-f(x)$) ก็จะได้ออกมาตามที่พิมพ์

แต่ถ้าเป็นอย่างนั้น ตอนที่ได้สมการ $f(yf(x))=yf(x)$ ก็จะยังสรุปไม่ได้ว่า $f(x)=x$ นะครับ เพราะว่า $y$ กับ $x$ ไม่เป็นอิสระต่อกัน (กล่าวคือ $y=x-f(x)$ เท่านั้น)

คือจะได้ข้อสรุปว่า $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ แทนครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #15  
Old 27 กรกฎาคม 2015, 12:32
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ OsTan View Post
รบกวนถามอีกนิดนึงนะครับ

เข้าใจว่าหมายความว่า แทน $x=y+f(x)$ โดยที่ $x$ ตัวแรกกับตัวหลังเป็นตัวเดียวกัน (คือมีค่าเท่ากับแทน $y=x-f(x)$) ก็จะได้ออกมาตามที่พิมพ์

แต่ถ้าเป็นอย่างนั้น ตอนที่ได้สมการ $f(yf(x))=yf(x)$ ก็จะยังสรุปไม่ได้ว่า $f(x)=x$ นะครับ เพราะว่า $y$ กับ $x$ ไม่เป็นอิสระต่อกัน (กล่าวคือ $y=x-f(x)$ เท่านั้น)

คือจะได้ข้อสรุปว่า $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ แทนครับ
จริงด้วยนะครับ ลืมคิดประเด็นนี้ไป ผมไม่ได้เอะใจเลย เพราะงั้นถ้าแทน $x=1$ ก็ให้ผล $f(0)=0$ จริงๆด้วย

แล้วจะแก้ยังไงครับ ถ้าจะทำต่อจาก $f\big((x-f(x))f(x)\big)=(x-f(x))f(x)$ ผลลัพธ์ตรงนี้
---------------------------------------------------------------------------
รบกวนเชคอีก 2 quotes นี้หน่อยครับ มีที่ผิดตรงไหนบ้าง ช่วยๆกันดู

QUOTE ล่าง แทนแบบนี้ได้หรือเปล่าครับ มันจะมีปัญหาเรื่องความอิสระของตัวแปรอีกมั้ย

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
กรณี $f(0)=0$ จะได้โดยง่ายว่า $f(f(x))=f(x)$ เเละพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า ไม่มี $a\not=0$ ที่ $f(a)=0\rightarrow f(1)\not=0$
พบว่า เเทน $x,y$ ด้วย $f(y)-x,x$ ตามลำดับได้ว่า
$$f(f(y)-x+f(y))+f(x(f(y)-x))=2f(y)-x+xf(f(y)-x)$$
จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $f(x+y)-x$ ในสมการข้างบน เเละบวกด้วย $f(xy)+yf(x)$ทั้งสองข้าง
$$yf(x)+\Big(f(xy)+f(x+f(x+y))\Big)+f(x(f(x+y)-x))=\Big(x+f(x+y)+yf(x)\Big)+f(xy)+(f(x+y)-x)f(x)$$
ตัดค่าที่อยู่ในวงเล็บใหญ่จากสมการเดิมเเละ เเทน $x$ ด้วย $f(x+y)$ จะได้ว่า $yf(x+y)=f(yf(x+y))$ จากนั้นเเทน $x$ ด้วย $x-y$ จะได้ $yf(x)=f(yf(x))$
จากนั้นเเทน $x,y$ ด้วย $1,\dfrac{y}{f(1)}$ ตามลำดับ จะได้ $f(x)=x$
อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila View Post

ส่วน Edit ที่ 1 ถ้าผิดเฉพาะตรงสีแดงๆ ลองแทน $x$ ด้วย $-f(x+y)$ ใน original ดูครับ

จะได้ $f(-yf(x+y))=yf(-f(x+y))$ แล้วแทน $x$ ด้วย $x-y$ ในสมการล่าสุด

จะได้ $f(-yf(x))=yf(-f(x))$ แทน $x=1$ แล้วใช้ผลของ $f(-1)$ กับ $f(1)$ มาสรุปได้เลย
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
ตัวแทนประเทศ iwymic, aitmo, smo 2015 (สพฐ.) gon ข่าวคราวแวดวง ม.ต้น 0 22 พฤษภาคม 2015 18:27
กิจกรรมตอบปัญหาชิงรางวัล USB flash drive IMO 2015 FunMathWithIPST ข้อสอบโอลิมปิก 1 17 มีนาคม 2015 19:45
พรีเมียร์ลีก 2014-2015 ฟินิกซ์เหินฟ้า ฟรีสไตล์ 3 15 สิงหาคม 2014 21:38
Field Medal 2014 & IMO 2015 จูกัดเหลียง ฟรีสไตล์ 3 30 มีนาคม 2014 12:41
ไทยเป็นเจ้าภาพ IMO ปี 2015 ครับผม!! ~ArT_Ty~ ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย 1 03 สิงหาคม 2011 19:30

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:37


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha