อสมการข้อนี้ ทำไม่ออกค่ะ

[vespa1]

ถ้า A คือเซตของจำนวนเต็ม x ที่สอดคล้องกับอสมการ $\left|x-25\right| + \left|x-53\right| \not= \left|2x-78\right|$ แล้วสมาชิกค่าน้อยที่สุดของ A เท่ากับเท่าใด

[PP_nine]

ลองเปลี่ยนเป็น = สิครับ หมายความว่าคำตอบที่เราต้องการหาก็คือจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นคำตอบสมการดังกล่าว ที่เหลือน่าจะง่ายขึ้นแล้วนะครับ

[-InnoXenT-]

solution

กำหนดให้

$A = x-25$
$B = x-53$

จะได้ว่า $\left| A\,\right| + \left| B\,\right| \not= \left| A+B\,\right| $

แต่เรารู้ว่า $\left| A\,\right| + \left| B\,\right| \geqslant \left| A+B\,\right|$

$\left| A\,\right| + \left| B\,\right|$ กับ $\left| A+B\,\right|$ จะมีค่าเท่ากันก็ต่อเมื่อ
$A \geqslant 0$ และ $B \geqslant 0$ พร้อมกัน
หรือ $A \leqslant 0$ และ $B \leqslant 0$ พร้อมกัน

จะได้ว่า $x-25\geqslant 0$ และ $x-53\geqslant 0$

จะได้ $x \in \left[ 53 ,\infty\right] $

และ $x-25 \leqslant 0$ และ $x-53 \leqslant 0$

จะได้ $x \in \left[ -\infty ,25\right]$

นำช่วงมารวมกัน จะได้ $x \in\left[ -\infty ,25\right] \cup\in \left[ 53 ,\infty\right]$ ทำให้ $A$ กับ $B$ มีค่าเท่ากัน เราต้องการช่วงที่ทำให้มีค่าไม่เท่ากัน ดังนั้น

$x \in (25,53)$ ค่า $x$ ที่น้อยที่สุด ก็คือ $26$ ครับ