ข้อสอบ IJSO 10 th (27 มกราคม 2556)

[banker]

เมื่อ T ปีที่แล้ว
x + y - 2T = 26(z - T)

x+y = 26 z - 24T .....1

ปัจจุบัน
x + y = 14 z........2


26z - 24T = 14z

12z = 24T

z = 2T

อีก T ปี
พ่อแม่อายุ x+y+2T = 14z +z = 15 z

ลูกอายุ z + T = $\frac{3z}{2}$

$\frac{พ่อ+แม่}{ลูก} = \frac{15z}{\frac{3z}{2}} = 10$


ตอบ ข้อ D

[Dr.Scimath]

พักกลางวันเลยแก้เครียดครับเอาข้อ 15 อีกข้อ
ใช้ pythagoras
โดยจะมีสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 2 รูป
รูปใหญ่เขื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของ 2 วงเล็กกับ 1 กลาง ส่วนสามเหลี่ยมอีกรูปเชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของวงเล็กกับวงใหญ่ที่คลุมทุกวงอยู่
แก้สมการเล็กน้อยจะได้วงใหญ่มีรัศมีเท่ากับ 40 หน่วย ข้อ C ครับ

[กิตติ]

$x=\sin A,y=\cos A$
$x+y=m \rightarrow x^2+y^2+2xy=m^2 \rightarrow 2xy=m^2-1$
$(x^2+y^2)^2=1$
$x^4+y^4+2(xy)^2=1$
$2(xy)^2=\frac{1}{8} $
$xy=\pm \frac{1}{4} $
$A$ เป็นมุมในควอรันด์หนึ่งดังนั้น $xy$ ต้องเป็นค่าบวก
$xy=\frac{1}{4}$
$m^2-1=\frac{1}{2} $
$m= \sqrt{\frac{3}{2}} $
$x^4+y^4=\frac{7}{8} $
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(1-xy)$
$=\sqrt{\frac{3}{2}} \times (\frac{3}{4} )$
$=\frac{3\sqrt{6} }{8} $

ตอบ ตัวเลือก C

[กิตติ]

$A+B=90^\circ $
$\cos B=\sin A$
$2\cos^2A+\cos B=2\cos^2A+\sin A$
$=2+\sin A-2\sin^2 A$
$=2-2(\sin^2A-\frac{\sin A}{2} )$
$=2-2(\sin^2A-2(\frac{\sin A}{4})+\frac{1}{16} -\frac{1}{16})$
$=2+\frac{1}{8}-2(\sin A-\frac{1}{4} )^2 $
$=\frac{17}{8}-2(\sin A-\frac{1}{4} )^2 $
ค่าสูงสุดเกิดขึ้นที่ค่าของ $\sin A=\frac{1}{4}$ โดยมีค่าเท่ากับ $\frac{17}{8}$

ตอบข้อ A

[banker]

$ b > a $

สมมุติให้ $ \ b = \frac{1}{2}, \ \ a = \frac{1}{3}$

$ a^a = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} \ \ \to \ a^{6a} = (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$

$a^b = (\frac{1}{3})^{ \frac{1}{2}} \ \ \ \to \ a^{6b} = (\frac{1}{3})^{ 3} = \frac{1}{27}$

$b^a = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} \ \ \ \to \ b^{6a} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

$b^b = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \to \ b^{6b} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$

ตอบ ข้อ B

[anongc]

จัดรูปข้อ A

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อ12ยากมากครับ ช่วยเฉลยด้วยครับ

[anongc]

วาดรูปให้ดูครับ

[anongc]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ข้อ12ยากมากครับ ช่วยเฉลยด้วยครับ

ผมก็กำลังคิดอยู่ครับ ยังคิดไม่ออก แล้วผมก็งงๆตรงที่รัสมีวงกลมเล็กทำไมมันใหญ่กว่าวงกลมใหญ่คือมากกว่า 2 อะครับ

[กิตติ]

คำว่าสัมผัสคือแก้สมการแล้วได้คำตอบเป็นจำนวนจริงเพียงค่าเดียว
$x^2+ax+2=ax^2+x+a$
$(a-1)x^2-(a-1)x+(a-2)=0$
สมการนี้มีคำตอบเดียวเมื่อ $(a-1)^2-4(a-2)(a-1)=0$ และ $a\not= 1$
$(a-1)(a-1-4a+8)=0$
$(a-1)(-3a+7)=0$
$a=1,\frac{7}{3} $
เหลือค่า $a=\frac{7}{3}$ ทำให้เกิดสิ่งที่โจทย์ถาม

ตอบ B

[กิตติ]

$2x=1+\sqrt{5} $
$2x-1=\sqrt{5}$
$(2x-1)^2=5 \rightarrow 4x^2-4x+1=5$
$x^2-x-1=0 \rightarrow x-1-\frac{1}{x} =0$
$x^2-x=1$
$x-\frac{1}{x}=1 \rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=3$
$x^3-\frac{1}{x^3}=(x-\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2}+1)=4$

$(x^3-\frac{1}{x^3})(x^2+\frac{1}{x^2})=12$
$x^5-\frac{1}{x^5}+x-\frac{1}{x}=4$
$x^5-\frac{1}{x^5}=11$

$(x^5-\frac{1}{x^5})(x^2+\frac{1}{x^2})=33$
$x^7-\frac{1}{x^7}+x^3-\frac{1}{x^3}=33$
$x^7-\frac{1}{x^7}=29$

ตอบ D

[กิตติ]

สมมุติว่ากระดาษวงกลมมีรัศมีเท่ากับ $r$ แบ่งเป็น $n$ ส่วน แต่ละส่วนมีพื้นที่เท่ากับ $\frac{\pi r^2}{n} $
ทรงกรวยมีรัศมีเท่ากับ $r'$ สูงตรงคือ $h$ และสูงเอียงคือ $l$
สูงเอียงของทรงกรวยเท่ากับรัศมีของวงกลมวงใหญ่ $l=r$
หารัศมีของกรวยจากเส้นรอบวง จะได้$r'=\frac{r}{n} $
ดังนั้นพื้นที่ผิวของทรงกรวยเท่ากับ $\pi r'l=\frac{\pi r^2}{n}$
$l=\frac{r^2}{nr'}=r $
$r=nr'$ และ $r'=\frac{r}{n} $

ความสัมพันธ์ของสูงตรงและสูงเอียง $l^2=h^2+r'^2$
$h^2=r^2-r'^2=r^2(1-\frac{1}{n^2} )$
$h=r\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} $
ปริมาตรของทรงกรวยแต่ละอันคือ $\frac{1}{3}\pi r'^2h $
$=\frac{1}{3}\pi(\frac{r}{n} )^2(r\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} )$

$=\frac{1}{3}\pi r^3\left(\,\frac{1}{n^2}\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \right) $

ปริมาตรทรงกรวยทั้งหมด $n$ อันเท่ากับ $\frac{1}{3}\pi r^3 \frac{1}{n}\left(\,\sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \right)$

พิจารณาเฉพาะ $ \frac{1}{n}\left(\,\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}\right)$
$=\sqrt{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}}$

$=\sqrt{\frac{n^2-1}{n^4} } =\frac{\sqrt{n^2-1} }{n^2} $

ดังนั้น $n$ ยิ่งน้อย ค่าที่ได้ยิ่งมาก จากตัวเลือก จึงเลือกตัวเลือกที่มีค่า $n$ น้อยที่สุด คือ $2$

ไม่รู้ว่าคิดถูกไหม เดี๋ยวลองทวนวิธีทำอีกรอบ

[lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o]

Attachment 13113

24.$2cos^2A+cosB=2(cos^2A+sin^2A)+cosB-2sin^2A=2+cosB-2cos^2B$

ค่าต่ำสุดคือ $c-\frac{b^2}{4a} =2+\frac{1^2}{8} =\frac{17}{8}$

[Dr.Scimath]

ข้อ 14
l นั้นเป็นรัศมีของวงกลมใหญ่เพราะผ่านจุดศูนย์กลาง o ดังนั้น l/2 จะเป็นรัศมีของวงกลมเล็กที่ไม่ได้มีการแรงเงา พื้นที่ A+B เท่ากับผลต่างระหว่างพื้นที่วงใหญ่กับวงเล็กดังนี้
A + B = Pi x l^2 - pi x (l/2)^2 = 3/4*pi*l^2
เนื้อที่ A/B = 1/2
A = 1/3*3/4*pi*l^2 = 1/4*pi*l^2
B = 2/4*pi*l^2 = 1/2*pi*l^2
ถ้าลากแนวดิ่งลงมาผ่านจุดศูนย์กลางจะได้ครึ่งวงกลมรัศมี l จะได้ว่า
พทครึ่งกลมใหญ่ - ครึ่งวงกลมเล็ก = A + พื้นที่จาก l ไปถึงแนวดิ่ง
1/2(pi*l^2 - pi*(l/2)^2) = 1/4*pi*l^2+x
x = 1/8*pi*l^2
1/8 ของวงกลมครอบคลุม sector ที่มีมุมเท่ากับ 360/8 = 45 องศา ANS ตอบข้อ C
ข้อ 17 ไม่น่าจะใช้ 2 น่าจะเท่ากับ 4 มากกว่า ข้อ C

[artty60]

ข้อ12.ที่เป็นปัญหา
hint:1.หาจุดตัดของสมการวงกลมทั้งสอง
2.ทำให้ทราบมุมของsectorที่เกี่ยวข้องได้
3.ทำให้หาพื้นที่Aได้