รบกวนด้วยครับ

[Booom]

สวัสดีคับพี่ๆ

ผมมีโจทย์ 2 ข้อคิดเท่าไหร่ก็คิดไม่ออกครับ รบกวนพี่ๆด้วยครับ
1.สมการ X^3+X+1=0 มีคำตอบคือ a,b,c ให้ P(X) เป็นพหุนามดีกรี 3 ที่มี P(0)=-2
ถ้ารากของสมการ P(X)=0 คือ a^2, b^2, C^2 จงหาค่าของ P(4)

2.ให้ X เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ทำให้ X^2+x+1=0 เเล้วค่าของ
(X+(1/x))^2 +(X^2+(1/x^2))^2 +(X^3+(1/x^3))^2 +... + +(X^27+(1/x^27))^2

[FranceZii Siriseth]

1.$a+b+c=0,ab+bc+ca=1,abc=-1$

$P(x)=k(x-a^2)(x-b^2)(x-c^2)$

$P(4)$ แทนตรงๆเลยครับไม่ต้องหา $a,b,c$ แต่ละตัว

[poper]

2. จาก $x^2+x+1=0$ และ $x\not=0$ จะได้ว่า

$x+1+\frac{1}{x}=0$
$x+\frac{1}{x}=-1$------------->$(x+\frac{1}{x})^2=1$

$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=-1$--------->$(x^2+\frac{1}{x^2})^2=1$

$x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})=2$---------->$(x^3+\frac{1}{x^3})^2=4$

$x^4+\frac{1}{x^4}=(x^2+\frac{1}{x^2})^2-2=-1$--------->$(x^4+\frac{1}{x^4})^2=1$

$x^5+\frac{1}{x^5}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=-1$------>$(x^5+\frac{1}{x^5})^2=1$

$x^6+\frac{1}{x^6}=(x^3+\frac{1}{x^3})^2-2=2$------>$(x^6+\frac{1}{x^6})^2=4$

ดังนั้น ผลบวก $=(1+1+4)+(1+1+4)+....+(1+1+4)$ $9$วงเล็บ

[Pitchayut]

ข้อ 1. ผมมีวิธีง่ายกว่านั้น

ให้ $Q(x)=x^3+x+1$ มี $a, b, c$ เป็นราก

เห็นได้ชัดว่า $k\cdot Q(\sqrt{x})$ มี $a^2, b^2, c^2$ เป็นราก เมื่อ $k$ เป็นค่าคงที่ (จริงใช่ไหม)

หลังจากนั้นเราก็แทนค่า

$k({\sqrt{x}}^3+\sqrt{x}+1)=0$

$k(x+1)\sqrt{x}=-k$

$k^2 x(x^2+2x+1)=k^2$

$k^2(x^3+2x^2+x-1)=0$

เราจะได้ $P(x)=k^2(x^3+2x^2+x-1)$

จากโจทย์ $P(0)=-2$ แทนลงไปตรงๆ จะได้ $k^2=2$

ดังนั้น $P(4)=2(4^3+2\cdot 4^2+4-1)=198$

หมายเหตุ : ไอเดียนี้มาจากหนังสือ Art Of Problem Solving หน้า 273

ส่วนข้อ 2 ผมสร้างความสัมพันธ์เวียนเกิดได้ โดยให้ $s_x=x+\displaystyle{\frac{1}{x}}$

จากสูตรของ viete กรณีสองพจน์ ที่กล่าวไว้ว่า

$(ax^n+by^n)=(x+y)(ax^{n-1}+by^{n-1})-xy(ax^{n-2}+by^{n-2})$

ซึ่งพิสูจน์โดยการกระจายทั้งสองข้างได้ จะได้ว่า

$\displaystyle{s_n=\left(\,x+\frac{1}{x}\right)s_{n-1}-s_{n-2}}$

เพราะว่า $x^2+x+1=0$ เมื่อหาร $x$ ทั้ง 2 ข้างจะได้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=-1}$

ดังนั้นจะได้ว่า $s_n=-(s_{n-2}+s_{n-1})$ โดยมีค่าเริ่มต้นคือ $s_0=2, s_1=-1$

แล้วก็ไล่หาไปตั้งแต่ 2-27 แล้วนำมาบวกกันก็จะได้คำตอบ

[poper]

ขอบคุณ คุณ Pitchayut มากเลยครับ

ขอถามนิดนึงนะครับ ตรง $s_{0}=2,s_{1}=-1$ หายังไงเหรอครับ

[Booom]

ขอบคุณพี่ๆทุกคนมากครับ ยากจังแต่จะพยายามฝึกครับ

[Pitchayut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอบคุณ คุณ Pitchayut มากเลยครับ

ขอถามนิดนึงนะครับ ตรง $s_{0}=2,s_{1}=-1$ หายังไงเหรอครับ

$$s_0=x^0+\frac{1}{x^0}=1+1=2$$
$$s_1=x+\frac{1}{x}=-1$$
(หมายเหตุ : $\displaystyle{x+\frac{1}{x}}$ ผมหาไว้แล้วในวิธีทำ)

[poper]

ถ้าทำตามที่คุณ Pitchayut แนะนำนะครับ จะได้

$s_0=2,s_1=-1,s_2=3,s_3=-4,s_4=7,s_5=-11,s_6=18$

บวกกันจะได้คำตอบคือ $14$ แบบนี้เหรอครับ