มาช่วยกันเฉลยอสมการ Vasc Warm-up problem set

[RoSe-JoKer]

ชุดโจทย์รวมอสมการ warm-up problem set
http://www.mediafire.com/?2rzc245wrnlq6hg

[LightLucifer]

THX มากครับ

[nooonuii]

บางข้อที่คิดได้แล้วครับ

5. $a,b,c\geq 0$

$$a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$$
===================================================================
6. $a,b,c\in\mathbb{R},$ pairwise distinct

$$\Big(\dfrac{a}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a-b}\Big)^2\geq 2$$
===================================================================
9. $a,b,c\geq0, a^2+b^2+c^2=a+b+c$

$$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\leq ab+bc+ca$$

My Solution:

$(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2$

$2[(ab+bc+ca)-\{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\}]=(a^4+b^4+c^4)-(a^2+b^2+c^2)$

ดังนั้นอสมการสมมูลกับ

$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

โดยอสมการ Holder จะได้ทันทีว่า

$(a^4+b^4+c^4)(a+b+c)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

$(a^4+b^4+c^4)(a^2+b^2+c^2)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

$a^4+b^4+c^4\geq a^2+b^2+c^2$

====================================================================
10. $a,b,c\geq 0,$ no two of them are zero

$$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$$

My Solution:

$b^2+bc+c^2\leq\frac{3}{2}(b^2+c^2)$

ดังนั้น

$LHS\geq \dfrac{2}{3}\Big(\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\Big)$

$~~~~~~\geq 1$

จาก Nesbitt's inequality

====================================================================
30. $a,b,c\geq 0,$ no two of them are zero

$$\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+b^2}\geq \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}$$
====================================================================
34. $a,b,c\geq 0$

$$(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\geq (a+b+c)^3$$
====================================================================
41. $a,b,c,d>0$

$$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$$

My Solution:

บวก $1$ ให้แต่ละเทอมจะได้อสมการสมมูลกับ

$\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+d}{c+d}+\dfrac{a+c}{d+a}+\dfrac{b+d}{a+b}\geq 4$

$LHS=(a+c)\Big(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{d+a}\Big)+(b+d)\Big(\dfrac{1}{c+d}+\dfrac{1}{a+b}\Big)$

$~~~~~~\geq (a+c)\Big(\dfrac{4}{a+b+c+d}\Big)+(b+d)\Big(\dfrac{4}{a+b+c+d}\Big)$

$~~~~~~=4$

[No.Name]

9.$a,b,c\ge 0,a^2+b^2+c^2=a+b+c$

$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \le ab+bc+ca$

My Solution

โดยอสการ Power mean

$\displaystyle3(a^2+b^2+c^2)\ge (a+b+c)^2$

$\ge (a^2+b^2+c^2)^2$

$\displaystyle3(a^2+b^2+c^2\ge a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$

$\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2$

ถึงตรงนี้ผมพิสูจไม่ได้ว่า $ab+bc+ca\ge a+b+c$

[No.Name]

10.$a,b,c\ge 0$,no two of them are zero

$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$

ข้อนี้เขาบอกว่ามี 2ตัวไม่เป็น 0 แสดงว่าอีกตัวนึงต้องเป็น 0 ใช่ไหมครับ ถ้าไม่ใช่อย่าเปิดนะครับ

อันนี้เป็น วิธีทำที่ผิดนะครับ

My Solution

โดยไม่เสียนัย ให้ $a$ เป็น $0$

$\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2+b^2}\ge 1$

เป็นจริงโดย A.M.-G.M.

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

ข้อนี้เขาบอกว่ามี 2 ตัวไม่เป็น 0 แสดงว่าอีกตัวนึงต้องเป็น 0 ใช่ไหมครับ ถ้าไม่ใช่อย่าเปิดนะครับ

หมายความว่าไม่มีคู่ใดเป็นศูนย์พร้อมกันครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

หมายความว่าไม่มีคู่ใดเป็นศูนย์พร้อมกันครับ

ข้อ 9 ผมมาแบบหลงทางหรือเปล่าครับ

ถ้าหลงจะได้ไปคิดมาใหม่

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

My Solution

$\displaystyle a^2+b^2+c^2\ge a^2b^2+c^2a^2+b^2c^2$

งงบรรทัดนี้ครับ

[No.Name]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

งงบรรทัดนี้ครับ

$a^4+b^4+c^4 \ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$

$a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\ge 3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

เป็นแบบนี้ครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตั้งใจไว้ว่าสอบวิทยานิพนธ์เสร็จแล้วจะมาเล่นกระทู้นี้ ตอนนี้พร้อมแล้วขอลงบางข้อที่คิดได้ไว้ก่อนนะครับ
9. $a,b,c\geq0, a^2+b^2+c^2=a+b+c$

$(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\leq ab+bc+ca$

ถ้าจะพิสูจน์ $ab+bc+ca \ge a+b+c$ มันเป็นไปไม่ได้ครับ

เพราะว่า

$ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2 =a+b+c$

ยังไงก็ช่วยเช็ค ให้ผมหน่อยครับ

My_soln

$$\sum_{cyc} a^2b^2 \leq \sum_{cyc} ab$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^4 \ge \sum_{cyc} a^2$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ตั้งใจไว้ว่าสอบวิทยานิพนธ์เสร็จแล้วจะมาเล่นกระทู้นี้ ตอนนี้พร้อมแล้วขอลงบางข้อที่คิดได้ไว้ก่อนนะครับ

41. $a,b,c,d>0$

$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$

ได้หรือเปล่าครับ

My_soln

$$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(a+d)}+\frac{(d-a)^2}{(a+b)(d-a)}$$
$$\ge \frac{(a-b+b-c+c-d+d-a)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}=0$$

[No.Name]

#10

งงอ่ะครับไม่เข้าใจ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ No.Name

#10

งงอ่ะครับไม่เข้าใจ

Hide

$$(a^2+b^2+c^2)^2=(a+b+c)^2 \Rightarrow \sum_{cyc} a^2b^2=\frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc}a^4}{2}$$
$$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=a+b+c=a^2+b^2+c^2\Rightarrow \sum_{cyc} ab=\frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc} a^2}{2}$$
ดังนั้นจึงต้องการพิิสูจน์ว่า$$\frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc}a^4}{2}\leq \frac{(\sum_{cyc} a)^2-\sum_{cyc} a^2}{2}$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} a^4\ge \sum_{cyc} a^2$$

[Amankris]

#11
Cauchy รูปนี้มีเงื่อนไขนะครับ

[จูกัดเหลียง]

#14 มีเงื่อนไขอะไรเหรอครับ ผมก็ไม่ค่อยเเน่ใจอยู่เเล้วอ่ะครับ