สอวน. ศูนย์ มช. ปี 52

Bonegun · #1 06 กันยายน 2009, 19:16

ใครไปสอบมาบ้าง โชว์ตัวหน่อยคร้าบ

มี 40 ข้อนะครับ เติมคำอย่างเดียว ปีนี้ไม่มีข้อเขียน
เดี๋ยวมาลงข้อที่ต้องมีรูปนะครับ เท่าที่จำได้มีแค่ 20 ข้อ เอง -*-

1. ชายคนหนึ่งโยนลูกเต๋าสองลูก สีแดงและสีขาว เขาพนันกับเพื่อนว่า
ผลรวมของทั้งสองลูกเท่ากับ 8 หรือ ลูกสีแดงหงายหน้า 4
ความน่าจะเป็นที่เพื่อนของเขาจะทายว่าสีขาวหงายหน้า 3 คือ

2. โยนลูกบอลจากตึกสูง 10 เมตร ลูกบอลที่กระดอน จะสูงเป็น 2/3 ของความสูงก่อนตก
ลูกบอลต้องกระทบพื้นกี่ครั้ง ถึงจะสูงต่ำกว่า 10 cm เป็นครั้งแรก

3. x=ABC โดยที่ A B C เป็นเลขเรียงกัน โดยที่ A<B<C เช่น 678
โดยผลรวมของเลขทั้งสาม สามารถหาค่ารากที่ 4 ได้ x น้อยที่สุดคือ

4. จำนวนสองจำนวน หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ได้ 4 และ 312 ตามลำดับ
ถ้าทั้งสองจำนวนมีผลต่างคือ 28 ทั้งสองจำนวนนั้นคือ

5. $x^3-6x^2+11x-6$ เขียนในรูปผลคูณอย่างง่ายคือ

6. $ A= \sqrt{10^6(10^6+1)(10^6+2)(10^6+3)+1} $
$ โดยที่ A เป็นจำนวนเต็ม A=?$

7. $ นิยาม p(n) คือผลคูณของเลขโดดของ n โดยไม่คูณ 0 เช่น $
$p(123)=1*2*3$ $ p(230)=2*3$
$S=p(1)+p(2)+p(3)+...+p(999) S=?$

8. x เป็นจำนวนเต็มในช่วง 1 ถึง 100 โดยที่ ห.ร.ม. ของ x กับ 24 คือ 3 จงหา x ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

9. $ xเป็นจำนวนเต็ม โดยที่ 0<\frac{x^3+8}{5x^3+8} <1 จงหาเซตของ x ที่เป็นไปได้$

10. $ f(n) = \cases{n-3 & , n \geqslant 1000 \cr f(f(n+5)) & , n < 1000} จงหา f(44)$

11. $[(p\vee q)\wedge (p\rightarrow r)\wedge(q\rightarrow r)]\rightarrow r สมมูลกับ$
$ [(p\vee q)\wedge A]\rightarrow r$
$ จงเขียน A ในรูปที่ใช้ p, q, r น้อยที่สุด$

12. $ A= \frac{1}{1+\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3} }+... +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100} }$
$ A=?$

13. $ x\in \mathbb{R}$ $ \exists x[x>4\rightarrow x<0] มีค่าความจริงคือ เพราะ $

14. $ เอกพจน์สัมพัทธ์คือ \mathbb{R}$
$ \forall x\exists y[2x^2-3xy+y^2=0] มีค่าความจริงคือ เพราะ $

15. $ ให้ c เป็นจำนวนคี่บวก$ $ S=[ x>0 และ x^2+2x-c=0] $
$T=[xเป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ 3x^2-5x+c=0]$
$จงหา S\cup T$

ผมพยายามใช้สำนวนให้ตรงกับข้อสอบที่สุดนะครับ ไม่เรียงข้อด้วย - -

Scylla_Shadow · #2 06 กันยายน 2009, 19:34

ผมก็ไปสอบมาครับ ผิดไปแล้วจำนวนหนึ่งครับ

เพิ่มเติมอีกนิดหนึ่ง (อาจรวบรัดตัดความไปนิดนึงนะครับ ข้อที่โจทย์ยาวๆอ่ะ)

xx.จงหา x ซึ่งเป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $7(x+\frac{1}{x})-2(x^2+\frac{1}{x^2})=0$

xx. กำหนดให้ $P_n\leqslant P_{n+1}$ และ $P_{(m)(n)}=P_mP_n$
ถ้า $P_6=2$ จงหา $P_{18}$ <ในโจทย์รู้สึกจะใช้ f(m) แทน $P_m$ ของผมอ่ะ>

xx. จากรูป1.1 จุด D เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AC และ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ถ้า BD ยาว 1 หน่วย จงหาความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC

เดี๋ยวมาเพิ่มอีกครับ

ปล. ข้อ20. ความยาวถูกแล้วครับ

Bonegun · #3 06 กันยายน 2009, 19:44

16. สี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD มี AD=BC=21 มี E และ F เป็นจุดอยู่บน AD และ CD ตามลำดับ
ซึ่งทำให้ AE=AB CE=CF FB=FE จงหา AB

17. รูป
ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BD เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม B โดยที่ $BD=BC=\sqrt{3} $ และ AD=3

18. รูป

19. รูป
ข้อนี้เหมือนข้อที่คุณ Scylla_Shadow โพสครับ แต่คือผมไม่รู้จำถูกรึเปล่าว่า AC เป็นครึ่งวงกลม

20. รูป
ข้อนี้ ผมไม่แน่ใจว่า 4 กับ 6 นี้มันสลับกันรึเปล่า คุณ Scylla_Shadow ยืนยันว่าถูกแล้วคับ
21. รูป

bell18 · #4 06 กันยายน 2009, 20:02

ข้อ5.นี่ง่ายสุดเลย เห็นบ่อยมาก จำคำตอบได้ด้วย
ตอบ (x-1)(x-2)(x-3)

Zenith_B · #5 06 กันยายน 2009, 21:03

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

ผมก็ไปสอบมาครับ ผิดไปแล้วจำนวนหนึ่งครับ

เพิ่มเติมอีกนิดหนึ่ง (อาจรวบรัดตัดความไปนิดนึงนะครับ ข้อที่โจทย์ยาวๆอ่ะ)

xx.จงหา x ซึ่งเป็นจำนวนจริงซึ่งทำให้ $7(x+\frac{1}{x})-2(x^2+\frac{1}{x^2})=0$

ข้อนี้ $7(x+\frac{1}{x})-2(x^2+\frac{1}{x^2})=0$
ให้ $ A=(x+\frac{1}{x})$
จะได้ $ 7A-2(A^2 - 2) =0$
$2A^2 -7A -4 =0$
$(2A + 1)(A-4) = 0$
$ A = 4 , \frac{-1}{2} =x+\frac{1}{x} $
จะได้ ว่า $ 2x^2 +x+2 =0 $ จะมีคำตอบไม่ใช่ จน. จริง
ดังนั้นเหลือ $x^2 -4x +1 =0 $
แก้สมการหาค่า x ก็น่าจะจบแล้วครับ

Zenith_B · #6 06 กันยายน 2009, 21:10

6. $ A= \sqrt{10^6(10^6+1)(10^6+2)(10^6+3)+1} $
$ โดยที่ A เป็นจำนวนเต็ม A=?$

ให้ $B = 10^6$
จะได้ $ A= \sqrt{B(B+1)(B+2)(B+3)+1} $
$ A= \sqrt{(B^2 +3B)(B^2+3B +2)+1} $
$ A= \sqrt{(B^2 +3B)^2 +2(B^2+3B)+1} $
$ A= {B^2 +3B+1} $
แทนค่า $B = 10^6$ จะได้ $ A = 10^{12} +3(10^6)+1$

ข้อนี้ 3. x=ABC โดยที่ A B C เป็นเลขเรียงกัน โดยที่ A<B<C เช่น 678
โดยผลรวมของเลขทั้งสาม สามารถหาค่ารากที่ 4 ได้ x น้อยที่สุดคือ

ข้อนี้ตอบ 262728 รึเปล่าครับ

banker · #7 07 กันยายน 2009, 08:31

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bonegun

3. x=ABC โดยที่ A B C เป็นเลขเรียงกัน โดยที่ A<B<C เช่น 678
โดยผลรวมเลขโดดของเลขทั้งสาม สามารถหาค่ารากที่ 4 ได้ x น้อยที่สุดคือ

กำลังสี่ที่น้อยที่สุดคือ $2^4 = 16$

เลือกจาก $0 \ \ 1 \ \ 2 \ \ 3 \ \ 4 \ \ 5 \ \ 6 \ \ 7 \ \ 8 \ \ 9$ ที่มีผลรวมเท่ากับ $16$

เลขที่น้อยที่สุดคือ $1 + 6 + 9 $

$ x=ABC = 169$ Ans.

^
^
^
^
ขออภัยครับ ตรวจสอบแล้ว คำตอบนี้ผิดครับ

169 ไม่เป็นเลขเรียงกัน

ผมแก้ใหม่แล้ว ดู #24 หน้า 2 ครับ
http://www.mathcenter.net/forum/show...?t=8494&page=2

banker · #8 07 กันยายน 2009, 09:12

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Scylla_Shadow

xx. จากรูป1.1 จุด D เป็นจุดกึ่งกลางส่วนโค้ง AC และ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า ถ้า BD ยาว 1 หน่วย จงหาความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC

โจทย์ข้อนี้ แปลกๆ

banker · #9 07 กันยายน 2009, 09:19

แต่ถ้าเป็นแบบนี้

ถ้า $AC$ เส้นผ่านศูนย์กลางครึ่งวงกลมเขียว

ก็จะได้

$OD = x, \ \ \ \ OB = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$x+ \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 $

$2x = 2 - \sqrt{3} $

ความยาวด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ยาวด้านละ $2 - \sqrt{3} $ หน่วย

banker · #10 07 กันยายน 2009, 09:38

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bonegun

12. $ A= \frac{1}{1+\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3} }+... +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100} }$
$ A=?$

$ A= \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3} }+... +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100} }$

$ = \frac{(\sqrt{1}-\sqrt{2})}{(\sqrt{1}+\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{1}-\sqrt{2}) } + \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3}) } + \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{(\sqrt{3}+\sqrt{4}) \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{4}) } + . . . . . + \frac{(\sqrt{99}-\sqrt{100})}{(\sqrt{99}+\sqrt{100}) \cdot (\sqrt{99}-\sqrt{100}) }$

$ [-(\sqrt{1}-\sqrt{2})] + [-(\sqrt{2}-\sqrt{3})] + [-(\sqrt{3}-\sqrt{4})] + .... + [-(\sqrt{99}-\sqrt{100})] $

$ -1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4} + .... + \sqrt{100})$

$A = -1 + 10 = 9$

banker · #11 07 กันยายน 2009, 09:53

ถาม คุณBonegun หน่อยครับ

รูปที่โพสต์ เป็นรูปจากกระดาษข้อสอบ หรือเป็นรูปที่คุณBonegun ทำขึ้นตามความเข้าใจของคุณBonegunครับ

เช่น

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bonegun

17. รูป
ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BD เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม B โดยที่ $BD=BC=\sqrt{3} $ และ AD=3

banker · #12 07 กันยายน 2009, 11:56

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Bonegun

4. จำนวนสองจำนวน หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ได้ 4 และ 312 ตามลำดับ
ถ้าทั้งสองจำนวนมีผลต่างคือ 28 ทั้งสองจำนวนนั้นคือ

สองจำนวนนั้น คือ $a$ กับ $ b$ โดย $a > b$ จะได้

$ab = 4 \cdot 312$

$4ab = 16 \cdot 312$ ..... (1)

$a-b = 28 $ ......(2)

$a^2 - 2 ab + b^2= 28^2 $ .....(3)

(1) + (3) $ \ \ \ \ a^2 + 2 ab + b^2= 28^2 + 16 \cdot 312 $

$(a+b)^2 = 76^2$

$a+b = \pm 76$ ........(4)

จาก (2) และ (4) จะได้

$a,b =$ {52, 24}, {-24, -52}

banker · #13 07 กันยายน 2009, 13:02

ข้อ 18

พื้นที่วงกลม $= \pi 5^2 = 25\pi $

พื้นที่สามเหลี่ยมสองรูป $= 24+ 4\sqrt{21} $

พื้นที่สีเหลือง $= 25\pi - (24+ 4\sqrt{21})$

banker · #14 07 กันยายน 2009, 14:38

8. x เป็นจำนวนเต็มในช่วง 1 ถึง 100 โดยที่ ห.ร.ม. ของ x กับ 24 คือ 3 จงหา x ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

$\because 24 $ หารด้วย $3$ แล้วได้ $8$ ซึ่งเป็นจำนวนคู่

ดังนั้น $x$ เมื่อหารด้วย 3 แล้ว ผลหารต้องไม่เป็นจำนวนคู่

ดังนั้น ผลหารที่เป็นไปได้คือ $1 \ \ 3 \ \ 5 \ \ 7 \ \ 9 \ \ 11 \ \ 13 \ \ 15 \ \ 17 \ \ 19 \ \ 21 \ \ 23 \ \ 25 \ \ 27 \ \ 29 \ \ 31 \ \ 33 $

ดังนั้น $x$ ที่เป็นไปได้คือ $3 \ \ 9 \ \ 15 \ \ \ \ 21 \ \ 27 \ \ 33 \ \ 39 \ \ 45 \ \ 51 \ \ 57 \ \ 63 \ \ 69 \ \ 75 \ \ 81 \ \ 87 \ \ 93 \ \ 99$

banker · #15 07 กันยายน 2009, 15:14

อ้างอิง:

16. สี่เหลี่ยมผืนผ้า ABCD มี AD=BC=21 มี E และ F เป็นจุดอยู่บน AD และ CD ตามลำดับ
ซึ่งทำให้ AE=AB CE=CF FB=FE จงหา AB

ข้อนี้เขียนรูปไม่ได้ครับ