โจทย์ตรีโกณ ชุด 3 (2 ข้อ)

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

เมื่อคืนผมกลับไปเช็คเอกลักษณ์ที่ว่า $\arcsin A+\arccos A =\frac{\pi}{2}$ มันเป็นการเลือกพิจารณาเมื่อมุมอยู่ใน Q1 มันขาดกรณีที่มุมอยู่ในQอื่น คงนำไปสรุปว่าจริงแค่เมื่อค่ามุมอยู่ใน Q1 เป็นอย่างนี้ใช่ไหมครับ นอนดึกนะครับพี่เล็ก

เอกลักษณ์นี้ $\arcsin x+\arccos x =\frac{\pi}{2}$ เป็นจริงเสมอครับ เมื่อ $-1\leqslant x\leqslant 1$ ไม่ได้เป็นการเลือกพิจารณาฌฉพาะเมื่อมุมอยู่ใน $Q_1$

$\arcsin (-\frac{1}{2}) +\arccos (-\frac{1}{2}) =\frac{\pi}{2}$

แต่ที่ผมแย้ง

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

$A+B+M+N=\pi $
$M+N=(\frac{\pi }{2}-A )+(\frac{\pi }{2}-B)$
ผมเลยให้ $M=(\frac{\pi }{2}-\arccos\left(\,\frac{x}{a}\right) )=\arcsin\left(\,\frac{x}{a}\right),N=(\frac{\pi }{2}-\arccos\left(\,\frac{y}{b}\right))=\arcsin\left(\,\frac{y}{b}\right)$ ซึ่งอาจเป็นหนึ่งในหลายๆค่า

คุณหมอยอมรับว่าเป็นหนึ่งในหลาย ๆ ค่า แต่เลือกพิสูจน์เพียงกรณีเดียว คำตอบที่ได้ก็เป็นคำตอบของกรณีนี้

แล้วกรณีอื่นจะได้คำตอบตรงกันหรือไม่ เช่น

$M+N=(\frac{2\pi }{3}-A )+(\frac{\pi }{3}-B)$

$M=(\frac{2\pi }{3}-A ) ;N=(\frac{\pi }{3}-B)$

และอีกหลาย ๆ กรณีครับ ต้องพิสูจน์ว่าคำตอบตรงกันสำหรับทุก ๆ ค่าของ $M,N$

ปล. ไม่ใช่นอนดึกครับ เพิ่งตื่น

[กิตติ]

เพิ่งไขข้อจำกัดของการใช้สามเหลี่ยมได้เมื่อเช้าว่า.....มันเป็นจริงบางกรณีเท่านั้น ดีนะที่พี่เล็กท้วงไว้
ถ้าถูกพี่เล็กถามว่า ลองให้ $x=0,y=0$ แล้วจะสร้างสามเหลี่ยมได้ยังไง แค่นี้ผมก็จอดแล้วครับ เพราะจะได้ทันทัว่า $\alpha =\pi $ ผมก็ไม่สามารถสร้างสามเหลี่ยมได้ ข้อจำกัดซึ่งน่าจะเรียกว่ามัดคอตัวเองตายแต่แรก คือการเลือกสร้างสามเหลี่ยม เพราะมันจำกัดเรื่องของมุมและเรื่องของด้าน มันจำกัดว่าใช้ได้เมื่อค่าของมุมอยู่ในQ1 คือ พิจารณาเฉพาะ $\arccos x$ เมื่อ $0<x\leqslant 1$

เป็นไปอย่างที่พี่เล็กบอกแต่แรกว่า ผมเลือกเฉพาะส่วนที่มันเข้าได้ ไม่ได้ใช้ได้จริงกับกรณีอื่นๆ
ขอบคุณครับที่ช่วยท้วงครับ

ดังนั้นโจทย์ข้อนี้ แก้ตามวิธีมาตรฐานอย่างที่พี่เล็กทำครับ