โจทย์แคลคูลัส ค่าตํ่าสุด/สูงสุด

[natchapong]

ช่วยผมทีครับ ทำไม่เป็นจริงๆ

[natchapong]

โรงงานอุตสาหกรรมส่งออกอาหารกระป๋อง ต้องการบรรจุผลิตภัณฑ์ลงกระป๋องให้มีปริมาตรจุได้ V อัตราส่วยนะหว่างส่วนสูงและรัศมีซึ่งทำให้ใช้วัสดุในการทำกระป๋องน้อยที่สุดจะเป็นเท่าใด

อีกข้อนะครับ

[nooonuii]

2. สมมติจุดบนแกน $x$ คือ $(a,0),(-b,0)$ เมื่อ $a,b>0$

จะได้จุดยอดของสี่เหลี่ยมคือ $(a,0),(a,5-2a),(-b,0),(-b,5+3b)$

แต่โจทย์ต้องการสี่เหลี่ยมผืนผ้า จึงได้ $5-2a=5+3b$ นั่นคือ $b=\dfrac{2a}{3}$

พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ $(a+b)(5-2a)=\dfrac{5a(5-2a)}{3}$

หาค่าสูงสุดออกมาจะได้เหมือน #3

[natchapong]

โรงงานอุตสาหกรรมส่งออกอาหารกระป๋อง ต้องการบรรจุผลิตภัณฑ์ลงกระป๋องให้มีปริมาตรจุได้ V อัตราส่วยนะหว่างส่วนสูงและรัศมีซึ่งทำให้ใช้วัสดุในการทำกระป๋องน้อยที่สุดจะเป็นเท่าใด

อีกข้อนะครับ

[Keehlzver]

ให้ $A(r,h):=2\pi r^2+2\pi rh$
$G(r,h)=\pi r^2h=V$
$F(r,h,t)=2\pi r^2+2\pi rh-t(G(r,h)-V)$
เราต้องการ minimize $A$ ให้น้อยที่สุดเทียบกับ $G$

โดย LaGrange Multipliers...
$\frac{\partial F}{\partial r}=4\pi+2\pi h-2\pi trh$
$\frac{\partial F}{\partial h}=2\pi r-t\pi r^2$
$\frac{\partial F}{\partial t}=V-\pi r^2h$
จับทั้งสามสมการเท่ากับศูนย์
ได้ว่า $t=\sqrt{\frac{8 \pi}{V}}$ จะได้ $(r,h)=(2\sqrt{\frac{V}{8\pi}},2)$ หา $r:h$ ได้...

[nooonuii]

ถ้าไม่อยากใช้ตัวคูณลากรองจ์ก็แค่เปลี่ยน $h=\dfrac{V}{\pi r^2}$

แล้วแทนใน $A(r,h)$ จะได้ $A(r)=2\pi r^2+\dfrac{2\pi V}{r}$

แล้วหาค่าสูงสุดออกมาครับ

[แม่ให้บุญมา]

ห้เป็นกรณีทั่วๆไป h=kR
โดย h เป็นความสูงของถังทรงกระบอก, R เป็นรัศมีของก้นถัง
ปริมาตรถัง V=TTR²h=kTTR³ ดังนั้น k=V/(TTR³)
พท ผิว A =(พท ล่าง +บน)+ ข้าง)=2TTR² + 2TTRh
A=2TTR² + 2TTRkR=2TTR² + 2TTR²[V/(TTR³)]
=2TTR² + 2TTR²[V/(TTR³)]
=2TTR² +2 V/R
dA/dR =4TTR - 2V/R² =0 ได้ R =(V/2TT)^1/3
แทนค่า R ใน k =V/(TTR³)= 2 , h =kR=2(V/2TT)^1/3
ความสูงเป็น 2 เท่าของ รัศมี จะใช้ พท ผิวน้อยที่สุด ประหยัดที่สุด