ขอโจทย์ A.M.-G.M.-H.M.หน่อยครับ

[SuperHero_Am_Pro]

โอ้วววววววววว พร้าจ้าววววววววววววว

[tatari/nightmare]

7.เราจะแสดงว่าถ้า $a,b,c>0$แล้ว $$a^4+b^4+c^4\geq a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$$
(i)โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า

$$3a^4+b^4=a^4+a^4+a^4+b^4\geq 4\sqrt[4]{a^{12}b^{4}}=4a^3b$$

ในทำนองเดียวกันเราก็จะได้ว่า

$$3b^4+c^4\geq 4b^3c , 3c^4+a^4\geq 4c^3a$$

เมื่อนำอสมการแต่ละอันมาบวกกันจะได้ว่า

$$4(a^4+b^4+c^4)\geq 4(a^3b+b^3c+c^3a)$$

ซึ่งก็จะได้สิ่งที่ต้องการ #
(ii)จากความจริงที่ว่า $x^2+y^2\geq 2xy$ สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{R}$
โดยอสมการ AM-GM เราจะได้ว่า
$$a+b+c=\sum_{cyc}(\sqrt{c}\frac{a}{\sqrt{c}})\leq\frac{1}{2}\sum_{cyc}(c+\frac{a^2}{c})=\frac{1}{2}(a+b+c)+\frac{1}{2}(\frac{a^ 2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})$$ ฉะนั้น $$\frac{1}{2}(a+b+c)\leq \frac{1}{2}(\frac{a^2}{c}+\frac{b^2}{a}+\frac{c^2}{b})$$ นั่นคือ $a^3b+b^3c+c^3a\geq abc(a+b+c)$ #
จากทั้งสองกรณีจึงได้ว่า $$a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$$ ตามต้องการ #

[tatari/nightmare]

10.(IMO 1995)ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$$
หมายเหตุ:สามารถแก้ได้โดยใช้ AM-GM อย่างเดียวได้

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

10.(IMO 1995)ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$$
หมายเหตุ:สามารถแก้ได้โดยใช้ AM-GM อย่างเดียวได้

Lemma $$\frac{1}{a^3(b+c)} \geq (\frac{3}{2})(\frac{a^{-\frac{5}{2}}}{a^{-\frac{5}{2}}+b^{-\frac{5}{2}}+c^{-\frac{5}{2}}})$$

proof of lemma

แทน $$a=\frac{1}{bc},\sqrt{b}=x,\sqrt{c}=y$$ อสมการสมมูลกับ $2(x^{10}y^{10}+x^5+y^5)\geq 3x^4y^4(x^2+y^2)$
ซึ่งเป็นจริงโดยอสมการ AM-GM;$2(x^{10}y^{10}+x^5+y^5)\geq (x^{10}y^{10}+2x^4y)+(x^{10}y^{10}+2xy^4)\geq 3x^4y^4(x^2+y^2)$

$\therefore$ จาก lemma จะำได้ว่า
$$ \sum_{cyc}\frac{1}{a^3(b+c)} \geq \frac{3}{2}$$

[loonova]

ข้อ 7 คิดได้อีกแบบครับ simply ดี
$$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge xyz(x+y+z)$$ $x,y,z > 0$
จะแสดงว่า $$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge (xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}\ge xyz(x+y+z)$$
Am-GM $$\Sigma_{cyc}(x^{4}+y^{4})\ge 2\Sigma_{cyc}(xy)^{2} $$
$$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge (xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}$$
Am-GM อีกครั้ง
$$\Sigma_{cyc}[(xy)^{2}+(yz)^{2}]\ge 2\Sigma_{cyc}xy^{2}z$$
จะได้ว่า $$(xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}\ge xyz(x+y+z)$$

[winlose]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

...$$\sum_{cyc}$$...

มันคืออะไรอ่ะครับ

[นายสบาย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ loonova

ข้อ 7 คิดได้อีกแบบครับ simply ดี
$$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge xyz(x+y+z)$$ $x,y,z > 0$
จะแสดงว่า $$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge (xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}\ge xyz(x+y+z)$$
Am-GM $$\Sigma_{cyc}(x^{4}+y^{4})\ge 2\Sigma_{cyc}(xy)^{2} $$
$$x^{4}+y^{4}+z^{4}\ge (xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}$$
Am-GM อีกครั้ง
$$\Sigma_{cyc}[(xy)^{2}+(yz)^{2}]\ge 2\Sigma_{cyc}xy^{2}z$$
จะได้ว่า $$(xy)^{2}+(yz)^{2}+(xz)^{2}\ge xyz(x+y+z)$$

เราจะสามารถทำได้อีกวิธีหนึ่ง ก็คือ
คูณสี่ ทางด้านซ้าย แล้ว แยกออกเป็น 3 พจน์ ก็ใช้ am-gm แก้ จะออกครับ
เดี๋ยววันหลังจะมาแสดงวิธีทำให้ดู วันนี้ hint ก่อน

[Mathephobia]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นายสบาย

เราจะสามารถทำได้อีกวิธีหนึ่ง ก็คือ
คูณสี่ ทางด้านซ้าย แล้ว แยกออกเป็น 3 พจน์ ก็ใช้ am-gm แก้ จะออกครับ
เดี๋ยววันหลังจะมาแสดงวิธีทำให้ดู วันนี้ hint ก่อน

Rearrangement Inequality ก็ได้นะครับ

[วะฮ่ะฮ่ะฮ่า]

มาทำโจทยืของผมมั่ง

ข้อ 11
ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$${(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)})}^2\geq 2$$
และจงหาวว่าเกิดสมการขึ้นได้เทื่อใด (ต่องบอกมาให้ครบทุกกรณี)

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

6. $(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq 8abc$

ผมอ่าน Am-Gm เองอะครับ
เริ่มเดินก้าวแรกได้

ช่วยตรวจสอบดูหน่อนะครับ

จากหลักของ $Am-Gm$ $\frac{1+a^2}{2} \geqslant a$
ในขณะเดียวกัน $\frac{1+b^2}{2} \geqslant b$
$\frac{1+c^2}{2} \geqslant c$
$\therefore (1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) \geq 8abc$

[Siren-Of-Step]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

มันคืออะไรอ่ะครับ

ผลรวม cyclic ของแต่ละพจน์ครับ

[Slurpee]

แล้วข้อ 7 ทำแบบนี้ได้ไหมครับ ใช้ AM-GM เท่านั้นครับ
$x^4+y^4+z^4\geqslant {3xyz\sqrt[3]{xyz}}$
$x^4+y^4+z^4\geqslant{(x+y+z)(xyz)}\geqslant {xyz\sqrt[3]{xyz}}$
จะได้แบบนี้รึเปล่าครับ
$x^4+y^4+z^4\geqslant{(x+y+z)(xyz)}$
ชี้แนะด้วยครับ

[กิตติ]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ไม่รู้จะง่ายไปหรือเปล่านะ แต่เมื่อขอมาก็จัดให้ครับ
2. จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\geq \frac{x+y}{2}$

ไม่รู้ว่าทำแบบนี้ได้ไหมครับ
จาก$x^2+y^2 \geqslant 2xy$ เอา$x^2+y^2 $บวกเข้าทั้งสองข้าง จะได้
$2(x^2+y^2 )\geqslant x^2+y^2 +2xy$
$2(x^2+y^2 )\geqslant (x+y)^2$
จากถ้า$a^2>b^2$แล้ว$a>b $ เมื่อ $a,b>0$
$\sqrt{2} \times \sqrt{x^2+y^2} \geqslant (x+y)$
$\sqrt{2(x^2+y^2)} \geqslant (x+y)$
$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2} } \geqslant \frac{(x+y)}{2} $

[-SIL-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

10.(IMO 1995)ให้ $a,b,c>0$ ซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$$
หมายเหตุ:สามารถแก้ได้โดยใช้ AM-GM อย่างเดียวได้

จัดรูปใน LHS แต่ละตัวไปเรื่อยๆ (คิดว่าง่ายครับ ) แล้วก็โคชี่

[กิตติ]

5. $\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq\dfrac{9}{3+a+b+c}$

ข้อนี้ผมขอให้AM-HM
$3+a+b+c \rightarrow (a+1)+(b+1)+(c+1)$
$AM=\dfrac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} $
$HM=\dfrac{3}{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1} +\dfrac{1}{c+1} } $
$AM \geqslant HM$
$\dfrac{(a+1)+(b+1)+(c+1)}{3} \geqslant \dfrac{3}{\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1} +\dfrac{1}{c+1} } $
จัดการย้ายพจน์จะได้ว่า
$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}\geq\dfrac{9}{3+a+b+c}$