Nasty Problem

[นายสบาย]

จงหาค่าของ $$ \frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\sqrt{10+\sqrt{3}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} } $$

มีใครมี solution สวยๆสำหรับข้อนี้ป่าวครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ นายสบาย

จงหาค่าของ $$ \frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\sqrt{10+\sqrt{3}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} } $$

Very nice problem

Use the identity $\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\Big(\sqrt{a+\sqrt{b}}+\sqrt{a-\sqrt{b}}\Big)$.

$x= \dfrac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\sqrt{10+\sqrt{3}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}} }{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} } $

$~=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\big(\sqrt{10+\sqrt{99}}+\sqrt{10-\sqrt{99}}\big)+\cdots+\big(\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{1}}\big)}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\sqrt{10-\sqrt{3}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}} }$

$~=\dfrac{x+1}{\sqrt{2}}$

$\therefore x=\sqrt{2}+1$

[หยินหยาง]

เมื่อคืนว่าจะมาตอบ แต่เห็นว่าดึกแล้วเลยไม่ได้ตอบ แต่พอมาเห็นคุณ nooonuii ตอบผมว่าคำตอบก็สวยไม่แพ้โจทย์ครับ
แนวคิดผมก็เหมือนของคุณ nooonuii แต่ผมใช้เอกลักษณ์นี้ครับ

$\frac{ \sqrt{a+\sqrt{b} } +\sqrt{a+\sqrt{a^2-b} }}{\sqrt{a-\sqrt{b} } +\sqrt{a-\sqrt{a^2-b} }} =\sqrt{2} +1$

[LightLucifer]

โอ้โห วิธีสุดยอด

THX for identities

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

เมื่อคืนว่าจะมาตอบ แต่เห็นว่าดึกแล้วเลยไม่ได้ตอบ แต่พอมาเห็นคุณ nooonuii ตอบผมว่าคำตอบก็สวยไม่แพ้โจทย์ครับ
แนวคิดผมก็เหมือนของคุณ nooonuii แต่ผมใช้เอกลักษณ์นี้ครับ

$\frac{ \sqrt{a+\sqrt{b} } +\sqrt{a+\sqrt{a^2-b} }}{\sqrt{a-\sqrt{b} } +\sqrt{a-\sqrt{a^2-b} }} =\sqrt{2} +1$

เอกลักษณ์นี้เจ๋งกว่าของผมอีกแฮะ คิดได้ไง

อยากรู้ที่มาของโจทย์ข้อนี้จังเลยครับ

[นายสบาย]

พอดีมีคนบอกมาครับ ผมนั่งคิดนอนคิดอยู่หลายวันก็ไม่ออกซักที
เลยมาปรึกษาเหล่ายุทธ 555

ต้องขอบคุณ nooonuii และ หยินหยาง มากนะครับ

ถ้าผมรู้ที่มายังไงของโจทย์ จะมาบอกอีกทีนะครับ

[jabza]

เอ่อ พี่noonuii กับ พี่หยินหยาง หาเอกลักษณ์จากที่ไหนอะคับ

เพราะโจทย์หลายๆข้อก็ใช้เอกลักษณ์ในการทำโจทย์

[หยินหยาง]

หาได้จากคุณ noonuii ครับ

อ่านเยอะ ทำโจทย์เยอะ ก็จะเห็นเยอะเองครับ แต่พวกนี้สำหรับผมแล้วอยู่ไม่นาน เพราะอาจลืมได้แต่ถ้ารู้จักประยุกต์หัดสังเกตและชอบเล่นแร่แปรธาตุ ก็จะมีให้ใช้อยู่เรื่อยครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ jabza

เอ่อ พี่noonuii กับ พี่หยินหยาง หาเอกลักษณ์จากที่ไหนอะคับ

เพราะโจทย์หลายๆข้อก็ใช้เอกลักษณ์ในการทำโจทย์

สูตรนี้หามาเองครับ ไม่เคยเจอที่ไหนมาก่อน ผมถึงบอกว่าโจทย์ข้อนี้ดี เพราะทำให้ผมได้เรียนรู้อะไรใหม่ๆมากขึ้น

ที่มาของสูตรก็ไม่ได้ง่ายๆ ผ่านการคิดมาหลายขั้นตอน ลองถูกลองผิดมั่วไปหมด

ผมว่าอย่างแรกที่ควรมีก็คงเป็นการสังเกตหารูปแบบทั่วไปครับ มองดูที่โจทย์แล้วเห็นอะไรบ้างก็จดไว้

ผมเริ่มโจทย์ข้อนี้จากการมองว่าน่าจะมีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างเทอมในตัวเศษและตัวส่วน

และคำตอบไม่น่าจะขึ้นกับจำนวนเทอม เพราะำผลบวกแบบนี้คงยากที่จะหาสูตรทั่วไปแน่ๆ

จากนั้นก็ลองตรวจสอบว่าที่คิดไว้จริงหรือไม่โดยการเล่นกับโจทย์ที่มีตัวเลขน้อยๆ

ผมก็เปลี่ยนจาก $10$ เป็น $2$ แล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ปรากฎว่าได้ตัวเลข $1+\sqrt{2}$ โผล่มา

ผมก็เริ่มเดาว่าน่าจะมีวิธีจับคู่แต่ละเทอมแล้วลดทอนลงมาได้ ตอนแรกนึกถึงสูตร telescoping sum

แต่ลองไปแล้วไม่ได้ผล ก็เลยเปลี่ยนมาใช้ Gauss pairing tool (ลองหาอ่านจาก MYMATHS ฉบับเก่าๆดูครับ)

โดยคิดว่าน่าจะมีสูตรที่อยู่ในรูป

$\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}}=\sqrt{c}\pm \sqrt{d}$

หรือ

$\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}} + \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{c}\pm \sqrt{d}$

เพราะถ้าได้สูตรแบบนี้มาก็น่าจะเอาไปทำอะไรต่อได้

ก็ลองแก้สมการหา $c,d$ ดูปรากฎว่าใช้ได้ออกมาเป็นสูตรอย่างที่เห็น พอลองขีดๆเขียนๆไปสักพักก็พบว่าได้คำตอบ

ใช้เวลาคิดไปเกือบสองชั่วโมงครับข้อนี้

[~king duk kong~]

สูตรนี้ สุดยอดด ครับ ทำเลขมาก็เยอะแยะ เห็นโจทย์ข้อนี้ สุดยอดครับ

วรยุทธแห่งหุบเขา mathcenter ได้บังเกิดขึ้นแล้ว บุตรของ Mathy ผู้เป็นตำนาน

ประทับใจโจทย์จริงๆครับ

[โลหิตคณิตศาสตร์]

เรื่องนี้น่าสนใจมากครับ มีเนื้อหาเพิ่มอีกมั้ยครับ?
ผมจะนำเรื่องนี้ขึ้นสัมมนา อยากได้ข้อมูลเพิ่ม สนใจมาก..