Before สพฐ รอบ 1 & 2/2014

[passer-by]

พอจะรวบรวมโจทย์แนว สพฐ ได้ส่วนหนึ่ง เลยเอามาฝากครับ

1. Simplify $ \frac{2014^4+4\cdot 2013^4}{2013^2+4027^2} - \frac{2012^4+4\cdot 2013^4}{2013^2+4025^2}$

2. หาจำนวนเต็มบวก k มากสุดที่ $ 3^k | \underbrace{333....3}_{3^{2013} digits} $

3. กำหนดจำนวนจริง a,b,c และ (a*b)*c = a+b+c หาค่า 2014*543

4.สามเหลี่ยม ABC มี P เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมและ M เป็นจุดกึ่งกลาง AC ให้ MP ตัด (APB) ที่ Q (ต่างจาก P)

ถ้า AQ= PC และ $A\hat{B}P = 48^{\circ} $ หาขนาด $M\hat{P}C $

5. หาจำนวนนับ n น้อยสุดที่สามารถ ซอยลูกบาศก์ยาวด้านละ n เป็นลูกบาศก์ย่อย 2013 ชิ้นที่มีด้านเป็นจำนวนเต็มได้

6. มีจำนวนนับ N ไม่เกิน 2013 กี่จำนวน ที่ทำให้สมการ $$ x^{\left\lfloor\ x\right\rfloor} = N $$มีคำตอบในจำนวนจริง

7. กำหนดจำนวนนับ $ n \geq 3 $ , Simplify $$ \sqrt{\underbrace{11..1}_{n-1 digits}2\underbrace{88...8}_{n-2 digits} 96} $$

8. สามเีหลี่ยม ABC มี M เป็นจุดกึ่งกลาง AB และ $ A\hat{C}M = 42^{\circ}$ และ $A\hat{B}C = 48^{\circ}$ หาขนาด $M\hat{C}B $ ทั้งหมดที่เป็นไปได้

9. หาจำนวนเต็ม x,y ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $ (x^2-y^2)^2 = 1+16y$

10. เขียน 1 ถึง 20132013 และให้ a,b แทนจำนวนเลข 1,3 ที่เขียน ตามลำดับ หาค่า $ |a-b|$

11. หาจำนวนจริง a ทั้งหมดที่ทำให้ $ a+ \sqrt{15}$ และ $ \frac{1}{a} - \sqrt{15}$ เป็นจำนวนเต็ม

12. cyclic ABCD ในวงกลมจุดศูนย์กลาง O ,มี K,L,M,N เป็นจุดบน AB,BC,CD,DA ตามลำดับ โดย AK=KB =6 , BL =3 ,LC =12 ,CM=4 ,MD =9 , DN= 18, NA=2 หาค่า $ \frac{360^{\circ}-N\hat{O}M}{N\hat{L}M}$

13. ทาสีช่องในตาราง 10x10 โดย แต่ละแถว และ คอลัมน์ มีไม่เกิน 5 สีต่างกัน หาจำนวนสีมากสุดทั้งตาราง

14. สามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABC โดย BA =BC และ BH เป็นส่วนสูง ,D อยู่บน รังสี AB และ CB แบ่งครึ่ง $A\hat{C}D $
ให้ E เป็นจุดบนส่วนสูง BH โดย DE =DC หาค่า $ \frac{ฺB\hat{D}E}{E\hat{D}C}$

------------------------------------------------------------------------------------

[boat25451]

อยากได้เฉลย+วิธีทำครับ

[passer-by]

วิธีทำ ยังให้ไม่ได้ตอนนี้หรอกครับ ไปทดดูก่อน

แต่ถ้าคำตอบ ดูด้านล่างครับ

ANSWER

1. 0
2. 2014
3. 2557
4. 48
5. 13
6. 412
7.$ \frac{10^n+8}{3} $
8. 42, 48
9. $ (\pm 1,0) , (\pm 4, 3) , (\pm4,5) $
10. 10041004
11. $ \pm4 -\sqrt{15} $
12. 2
13. 41
14. 0.5

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

พอจะรวบรวมโจทย์แนว สพฐ ได้ส่วนหนึ่ง เลยเอามาฝากครับ

1. Simplify $ \frac{2014^4+4\cdot 2013^4}{2013^2+4027^2} - \frac{2012^4+4\cdot 2013^4}{2013^2+4025^2}$

ให้ 2013=a จะได้ $\frac{(a+1)^4+4a^4}{a^2+(2a+1)^2}-\frac{(a-1)^4+4a^4}{a^2+(2a-1)^2}=(a^2+1)-(a^2+1)=0$

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

2. หาจำนวนเต็มบวก k มากสุดที่ $ 3^k | \underbrace{333....3}_{3^{2013} digits} $

พิจารณา
$3^k|3$ ผลบวกเลขโดด$=3$, $k=1$
$3^k|33$ ผลบวกเลขโดด$=6$, $k=1$
$3^k|333$ ผลบวกเลขโดด$=9$, $k=2$
$3^k|3333$ ผลบวกเลขโดด$=12$, $k=1$
.
.
.
$ 3^k | \underbrace{333....3}_{3^{2013} digits}$ ผลบวกเลขโดด$=3\cdot3^{2013}=3^{2014}$
$\therefore k_{max}=2014$

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

พิจารณา
$3^k|3$ ผลบวกเลขโดด$=3$, $k=1$
$3^k|33$ ผลบวกเลขโดด$=6$, $k=1$
$3^k|333$ ผลบวกเลขโดด$=9$, $k=2$
$3^k|3333$ ผลบวกเลขโดด$=12$, $k=1$
.
.
.
$ 3^k | \underbrace{333....3}_{3^{2013} digits}$ ผลบวกเลขโดด$=3\cdot3^{2013}=3^{2014}$
$\therefore k_{max}=2014$

ถ้าเป็น ข้อสอบเติมคำตอบ ได้เต็มแน่ๆ แต่ถ้าเป็นแบบแสดงวิธีทำ คะแนนหายไปเยอะเลยครับ

Logic คือเริ่มจาก 333 ก่อนครับ ซึ่งพบว่า $3^2 || 333 $

จากนั้น ขยายจาก 333 ไปเป็น 333 333 333 นั่นคือเลข 3 9 ตัว

แต่ 333 333 333 =333 (1001001) ซึ่งเทอมหลัง หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว

ดังนั้น $ 3^3 || 333 \,\, 333 \,\, 333 $

แล้วค่อย generalize เป็น $ 3^{k+1} || \underbrace{333 \,\, 333 \,\, 333\,\,...333}_{3^k digits} = \underbrace{333 \,\, 333 \,\, 333\,\,...333}_{3^{k-1} digits}(100...100..1)$

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ส่วนข้อ 10 แนะนำว่า ช่วง 1 ถึง 1 ล้าน a กับ b มันจะหักล้างกันเกือบหมด ให้นับหลังจากนั้น แล้วจะไม่ต้องทดเลขเยอะครับ

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

ถ้าเป็น ข้อสอบเติมคำตอบ ได้เต็มแน่ๆ แต่ถ้าเป็นแบบแสดงวิธีทำ คะแนนหายไปเยอะเลยครับ

Logic คือเริ่มจาก 333 ก่อนครับ ซึ่งพบว่า $3^2 || 333 $

จากนั้น ขยายจาก 333 ไปเป็น 333 333 333 นั่นคือเลข 3 9 ตัว

แต่ 333 333 333 =333 (1001001) ซึ่งเทอมหลัง หารด้วย 3 ลงตัว แต่หารด้วย 9 ไม่ลงตัว

ดังนั้น $ 3^3 || 333 \,\, 333 \,\, 333 $

แล้วค่อย generalize เป็น $ 3^{k+1} || \underbrace{333 \,\, 333 \,\, 333\,\,...333}_{3^k digits} = \underbrace{333 \,\, 333 \,\, 333\,\,...333}_{3^{k-1} digits}(100...100..1)$

อ่อ ขอบคุณค่ะ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

6. มีจำนวนนับ $N$ ไม่เกิน $2013$ กี่จำนวน ที่ทำให้สมการ $$ x^{\left\lfloor\ x\right\rfloor} = N $$มีคำตอบในจำนวนจริง

จาก $5^4<2013<5^5$ ดังนั้น $N$ จะอยู่ในช่วง
$[1^1,2^1)\cup[2^2,3^2)\cup[3^3,4^3)\cup[4^4,5^4)$
ฉะนั้น จะมี $N$ จำนวน $2^1-1^1+3^2-2^2+4^3-3^3+5^4-4^4=412$ ตัว

[passer-by]

ผมขยายความข้อ 6 ของคุณฟีนิกซ์เห็นฟ้า อีกครั้งแล้วกัน

จัดการกับตัว control ยากสุดของสมการก่อน คือ กำหนด $ \left\lfloor\,x\right\rfloor = n $

ดังนั้น $ x^n = N \Rightarrow x= N^{1/n}$

แทนค่ากลับ ได้สมการ $ \left\lfloor\, N^{1/n}\right\rfloor = n $

จากนิยามของ floor function จะได้ $ n \leq N^{1/n} < n+1 \Rightarrow n^n \leq N < (n+1)^n$

นั่นคือ ถ้า fix n ไว้ จำนวนนับ N ที่เป็นไปได้ จะอยู่ในช่วง $ [n^n , (n+1)^n)$ ซึ่งจะไปเชื่อมกับแต่ละช่วงที่คุณฟีนิกซ์เห็นฟ้าตอบไว้ครับ

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

@ คุณ Passer-by
ช่วยแนะข้อ $13.$ หน่อยครับ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

ช่วยแนะข้อ $13.$ หน่อยครับ

ลองพิจารณา "กรณี เกือบ มากสุด " ก่อนครับ

อย่างโจทย์ บอกว่าทุกแถวไม่เกิน 5 สี ก็ลองพิจารณากรณีทุกแถว มีไม่เกิน 4 สี ก่อน ดูว่า ทั้งตารางจะ เต็มที่ได้กี่สี

จากนั้น ลองขยับดูว่า ถ้ามีแถว 5 สีพอดีค่อยๆโผล่ทีละ 1 แถว maximum ที่หาไว้ มันจะขยับได้อีกมั้ย อย่าลืมว่า ในแนวคอลัมน์ก็ต้องไม่เกิน 5 สีด้วยนะครับ ดังนั้น เงื่อนไขมันจะชักเย่อกันอยู่

ยากสุด ตอนยกตัวอย่างตาราง กรณี เดาค่ามากสุดได้แล้วครับ

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

13. ทาสีช่องในตาราง 10x10 โดย แต่ละแถว และ คอลัมน์ มีไม่เกิน 5 สีต่างกัน หาจำนวนสีมากสุดทั้งตาราง

อย่างงี้ได้หรือเปล่าคะ

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ computer

อย่างงี้ได้หรือเปล่าคะ
Attachment 15402

50 เยอะไปครับ โจทย์จริงๆ ต้องลงสีครบทุกช่องด้วย แต่ setting นี้ก็เป็นระเบียบและใกล้เคียง solution ที่ผมมี มากแล้วครับ

จะใช้ setting แบบคุณแฟร์ ก็ได้ หรือ จะใช้แบบตัวอย่างด้านล่างก็ได้ โดยช่องขาวหมายถึงสีที่ 41



ตอนนี้เหลือแต่ รอคำอธิบายว่า ทำไม 41 มากสุด

[passer-by]

Selected Solutions

่

3

พิจารณา
((a*b)*c)*d= (a+b+c)*d
(a*b)+c+d = (a+b+c)*d
Take a=b =0 จะได้ (0*0)+c+d = c*d
ดังนั้น a+b+c =(a*b)*c = (a+b+(0*0))*c = a+b+c+2(0*0) $\Rightarrow $ 0*0 =0
สรุปว่า a*b =a+b

4 (Pure Geometry Version)

สะท้อน P เทียบกับ M กลายเป็น Q' ดังนั้นสี่เหลียม APCQ' เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน
แต่ AQ =PC ดังนั้น สามเหลี่ยม AQQ' เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว and thus มุม MPC = 48 องศา

8 (Pure Geometry Version)

ลากเส้นสัมผัส (ABC) ที่ C สรุปได้ไม่ยากว่า circumcenter O อยู่บน CM จากนั้นแบ่งเป็น 2 cases คือ
(i) O ทับ M : ดังนั้นมุม C เป็นมุมฉาก และมุม MCB = 48 องศา
(ii) O ไม่ทับ M : ดังนั้น OAB ,CAB เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว และมุม MCB = 42 องศา

14(Pure Geometry Version)

สะท้อน D เป็น D' เทียบกับ BH ดังนั้น D'DCA เป็นคางหมูหน้าจั่ว โดยมี เส้นตรง BH เป็นแกนสมมาตร และ verify ได้ไม่ยากว่า D',B,C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน and thus DD'=DC

ต่อ BH ตัด DD' ที่ F ดังนั้น $ FD = \frac{1}{2} DD' = \frac{1}{2} DE \Rightarrow F\hat{E}D= 30^{\circ} $

ให้ มุม DCB = x ไล่มุมได้ไม่ยากว่า $ \frac{B\hat{D}E}{E\hat{D}C} = \frac{60-x}{120-2x} = \frac{1}{2}$

[Amankris]

ข้อ 12 พิมพ์โจทย์ผิดนะครับ

และคำตอบน่าจะน้อยกว่า2ด้วยครับ