โจทย์ลำดับและอนุกรม ม.6

[RhYThM]

1.ให้ b และ c เป็นจำนวนจริงคงที่ 2 จำนวน
นิยาม ลำดับ $a_n$ โดยให้ $a_1$=1 และสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
$a_{n+1}$=$a_n$+$cb^n$
ถ้าลำดับ $a_n$ มีลิมิตเท่ากับ 2 และ $a_3$=$\frac{3}{2}$ แล้ว |c-2b|มีค่าเท่าใด
ก.0 ข.1 ค.2 ง.3

2.ให้ $a_1$,$a_2$,$a_3$,... เป็นลำดับเลขคณิต และ $b_1$,$b_2$,$b_3$,... เป็นลำดับเรขาคณิต โดยที่ $a_1$ $\not=$ 0 และ $b_n$=$a_n$+2 สำหรับทุกจำนวนนับ n ดังนั้น $\frac{b_{10}+3a_{20}-b_{30}}{a_1}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.1 ข.2 ค.3 ง.4

ช่วยหน่อยนะครับ ขอบคุณครับ

[issac]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RhYThM

1.ให้ b และ c เป็นจำนวนจริงคงที่ 2 จำนวน
นิยาม ลำดับ $a_n$ โดยให้ $a_1$=1 และสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ
$a_{n+1}$=$a_n$+$cb^n$
ถ้าลำดับ $a_n$ มีลิมิตเท่ากับ 2 และ $a_3$=$\frac{3}{2}$ แล้ว |c-2b|มีค่าเท่าใด
ก.0 ข.1 ค.2 ง.3

1) หารูปทั่วไปของ $a_n$
$a_1$=1
$a_2$=$a_1+cb$=$1+cb$
$a_3$=$a_2+cb^2$=$1+cb+cb^2$
...
ดังนั้น $a_n$=$1+cb+cb^2+...+cb^{n-1}$

2) ทำให้ $\lim_{n \to \infty}a_n=1+cb(1+b+b^2+...)$
$2=1+cb(\frac{1}{1-b})$ (จากโจทย์ $\lim_{n \to \infty}a_n=2$)
$1-b=cb$ ---(สมการ 1)

3) พิจารณา $a_3=1+cb+cb^2$
$\frac{3}{2}=1+cb+cb^2$
$1+b=\frac{1}{2bc}$ ---(สมการ 2)

4) $1-b^2=(1-b)(1+b)$
$1-b^2=(cb)(\frac{1}{2bc})$
$b=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow$ $c=\pm \sqrt{2}-1$

5) $\left|\ c-2b\right|$ =$\left|\ \pm \sqrt{2}-1\pm \frac{2}{\sqrt{2}}\right|$=1

[computer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ RhYThM

2.ให้ $a_1$,$a_2$,$a_3$,... เป็นลำดับเลขคณิต และ $b_1$,$b_2$,$b_3$,... เป็นลำดับเรขาคณิต โดยที่ $a_1$ $\not=$ 0 และ $b_n$=$a_n$+2 สำหรับทุกจำนวนนับ n ดังนั้น $\frac{b_{10}+3a_{20}-b_{30}}{a_1}$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.1 ข.2 ค.3 ง.4

แสดงว่าเป็นลำดับค่าคงที่

$b_n=a_n+2$

$b_{n-1}=a_{n-1}+2$

$\displaystyle \frac{b_n}{b_{n-1}}=k_2$

$b_n-b_{n-1}=a_n-a_{n-1}=k_1$

$b_n-\frac{b_n}{k_2}=k_1$

$b_n=\frac{k_1k_2}{k_2-1}=$ ค่าคงที่

ดังนั้น $b_n$ และ $a_n$ เป็นลำดับที่เป็นค่าคงที่

Answer: 3