พีชคณิตเบื้องต้น

[นายสบาย]

พอดีผมกำลังศึกษา linear algebra ด้วยตัวเองอะครับ
เลยมีโจทย์มาถามให้เฉลยหน่อยอะ ทำไปหมดแล้วไม่รุว่าคนอื่นๆจะมีวิธีคิดแบบไหน

1. $จงหาเมตริกซ์ทั้งหลายซึ่งสมมูลแถวกับเมตริกซ์ศูนย์ขนาด m \times n$
2. $จงหา rank ของเมตริกซ์ 0 มิติ 3 \times 4 จากนั้นหา rank ของเมตริกซ์เอกลักษณ์มิติ n \times n$
3. $จงแสดงว่า เมตริกซ์ในรูป row-reduced form ชองเมตริกซ์ 2 \times 2 คืิอ$
   $\bmatrix{0 & 0 \\ 0 & 0} .\bmatrix{0 & 1 \\ 0 & 0} ,\bmatrix{1 & c \\ 0 & 0} ,\bmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1} $
   $โดย c เป็นจำนวนจริงใดๆพร้อมทั้งหา rank ของเมตริกซ์$
4. $นิยาม 1_{n} เป็นเมตริกซ์ขนาด n \times 1 ซึ่งทุกสมาชิกเป็น 1 ให้ A=\frac{1}{n}(1_{n}(1_{n})^{t}X ) เมื่อ X เป็นเมตริกซ์มิติ n \times p
   จงแสดงว่า rank ของ A คือ 1 หรือ 0$
5. $จงหา row-reduced form ของ augmented matrix ของระบบ$
   $\bmatrix{1 & 4 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 &1 &-1} \bmatrix{x_{1} \\ x_{2} \\x_{3}} = \bmatrix{1 \\ 5 \\4}$
   จากนั้นหา solution set ของระบบดังกล่าว ในรูปผลบวกเชิงเส้นของ triples
6. $ถ้า AX=B มีคำตอบเดียว จงหาเซตคำตอบของ AX=0$
7. $ถ้า A เป็นเมตริกซ์มิติ n \times n ที่มี rank n จะมีเมตริกซ์ C เมตริกซ์เดียวซึ่ง AC =CA =I $

[kongp]

ผมจำได้ว่าข้อสอบทำนองนี้เป็นข้อสอบย่อย ของวิชาแคลคูลัส ตอนอยู่ปีหนึ่ง ซึ่งอยู่นอกหลักสูตรธรรมดา และเป็นการวัดความเข้าใจนิยาม มากกว่าเน้นการนำไปใช้งาน คำตอบบางข้อตอบได้หลายแนว ตอนผมพบกับแนวข้อสอบนี้ผมงงมาก แต่ตอนนี้พอเข้าใจ ขอให้สนุกนะครับ