โจทย์ สมการกำลังสาม คิดยังไงครับ.

[teamman]

( x + 1)* [(x^2) +1]*[(x^3) +1] = 30x^3 จงหาค่าx

[M@gpie]

Hint : ลองจัดรูปแล้วหาให้เจอครับเพราะโจทย์สามารถเขียนให้อยู่ในรูปพหุนามของ $t=x+\frac{1}{x}$ ได้

[jabza]

ตอบต่อจากคุณM@gpie ที่แนะมา สุดยอดจริงๆครับ ถ้าไม่มีคุณM@gpieแนะนำ ผมคงทำไม่ได้(คิดตั้งนาน อุส่าห์เห็นว่าไม่มีคนตอบ)ก็งี้แหละครับ เด็กเพิ่งเข้าม.1 ประสบการณ์ยังน้อย วิธีทำอย่างย่อๆ

จากโจทย์ใช้$x^3ย้ายข้างมาหาร จะได้ \frac{x+1}{x} * \frac{x^2+1}{x} * \frac{x^3+1}{x} = 30$
ให้$x+\frac{1}{x} = t$
$\therefore t [1+\frac{1}{x} * x^2+\frac{1}{x}] = 30$
$t(t^2-2+t) = 30$
$t[(t-1)(t+2)] = 2 * 3 * 5$ จะได้ t= 3 สมการจึงเป็นจริง
แทนค่า $x+\frac{1}{x} = 3

และจะได้ค่า $ x = $\frac{3+\sqrt{5}}{2}
และอีกค่าคือ\frac{3-\sqrt{5}}{2}Ans$ขอรับ

ปล.ช่วยเช็คดูให้หน่อยนะครับ และคุณteammanขึ้นม.1ที่ไหนครับ(เผื่อไปนว.ด้วยกัน )

โอ๊ะ !!โอ! รู้สึกว่ายังมีอีก4คำตอบนะครับ แต่เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนไม่จริง(ของม.ปลายครับ) ม.ต้นอย่างผมยังไม่ได้เรียน(หรือเรียนไม่ถึง ) แต่ผมได้ tอีก2ตัว ให้พี่ๆช่วยไปคิดมาเป็นxด้วยนะครับ
ต่อจากตอนที่แล้ว
$t(t-1)(t+2) = 2 * 3 * 5 $
$t^3 + t^2 -2t -30 =0 ดังนั้นจะได้ (t-3)(t^2+4t+10) = 0$
ใช้หารสังเคราะห์หรือหารยาวนะครับ จึงจะแยกตัวประกอบมาได้นะครับ
ดังนั้น $t = 3,-2+12i ,-2-12i$
($i = \sqrt{-1} เป็นจำนวนไม่จริงนะครับ$)
หมายเหตุ $t =x+\frac{1}{x}$ไปหาต่อนะครับ อีก4คำตอบของx วันนี้ผมลาไปก่อน สวัสดีครับ

[teamman]

ผมว่าคุณjabza คงเข้าใจ อะไรผิดบางอย่างนะครับ คือว่าผมกำลังจะขึน ม.2อะคับ และขอบคุณ M@gpie มากนะครับ ที่ช่วยบอกวิธีคิดให้ ส่วนที่คุณ jabza ทำถ้าผมเช็คแล้วครับ แต่งงตรงt(t2−2+t)=30 นี้อะครับว่ามาได้ยังไง เอ่อแล้ว โรงเรียน น.ว.ม.นี่โรงเรียนอะไรหรอคับ

[M@gpie]

ดีครับ ผมคิดว่าโจทย์ที่มีเทคนิคนี้ให้ hint ก่อนแล้วลองคิดเองจะได้อะไรเยอะกว่าเฉลยให้ดูหมดน่ะครับ ถ้าไม่ได้จริงๆ ก็ค่อยทำให้ดูก็ยังไม่สาย ขอรับ

[jabza]

ขอตอบคุณteammanครับ พอดีเห็นอายุมากกว่า1ปี แต่ผมเพิ่งขึ้นม.1 ก็เลย แต่ผมเกิดปี1995 ส่วนนว.นี้คือร.ร.นครสวรรค์ ชาย (ร.ร.เดียวกับweb Master พี่gonอะครับ) เอาละมาเข้าเรื่องเลยดีกว่า
$t(1+\frac{1}{x} ) * (x^2+\frac{1}{x}) = 30$
$t(x^2 +\frac{1}{x} +x+\frac{1}{x^2}) = 30$
หา$x^2+\frac{1}{x^2} = t^2 -2และค่า t = x+\frac{1}{x}$แล้วก็แทนค่าเอาครับสู้ต่อไปทาเคชิ!! คิดว่าตรง$x^2+\frac{1}{x^2} = t^2 -2$คงเข้าใจนะครับ(หามาจากการยกกำลัง2ของ$t = x+\frac{1}{x}$ แล้วจัดรูปก็จะได้

[M@gpie]

แนวคิดน้อง jabza ถูกแล้วครับ แต่ระหว่างการเปลี่ยนตัวแปรจัดรูปให้ง่ายกว่านี้ได้นิดหน่อยครับ แบบนี้
\[ (x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\]
แยกตัวประกอบของ $x^3+1$ ออกมา จะได้
\[ (x+1)^2(x^2+1)(x^2-x+1)=30x^3\]
กระจายกำลังสองของ $(x+1)^2$ แล้วเอา $x^3$ แยกหารทั้งสามวงเล็บ
\[ \frac{(x^2+2x+1)}{x}\frac{(x^2+1)}{x}\frac{(x^2-x+1)}{x}=30\]
\[ (x+\frac{1}{x}+2)(x+\frac{1}{x})(x+\frac{1}{x}-1)=30\]
ให้ $t=x+\frac{1}{x}$ แล้วก็จะได้ $t=3$ และ $t^2-4t+10=0$ ครับ

[teamman]

ขอบคุณครับที่ช่วยอธิบาย

[sornchai]

t^2-2+t = 30 มาได้ยังไงครับ
t^2 = x^2 + 2 + 1/x^2 ใช่เปล่าครับ แล้ว -2 มาได้ยังไง