โจทย์ยากๆสำหรับเด็กประถม

[Pheeradej]

6+24+60+120+210+...+8120400 = ?

[Pheeradej]

มีปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากไม่มีฝารูปหนึ่งมีความกว้าง 34 ซ.ม.ยาว 3690 ม.ม. สูง 3 ม.(วัดจากด้านนอก)
ถ้าปริซึมนี้มีความหนา 1 ซ.ม.ปริซึมนี้จะมีปริมาตรเท่าไร(ตอบหน่วยเป็นฟุต)

[nongtum]

มาช่วยใบ้ครับ
ผลรวมทั้งสองข้อ หากคิดในรูปทั่วไปแล้วแทนค่าทีหลังจะง่ายกว่าบวกกันตรงๆครับ อย่าลืมว่า
$\sum n=n(n+1)/2,\ \sum n^2=n(n+1)(2n+1)/6,\ \sum n^3=(\sum n)^2$
ส่วนข้อปริมาตรไม่น่ามีอะไรยากครับ

[au]

1. ต้องขอบคุณ คุณ Michael Owen2 ด้วยครับ เพราะผมดูไม่รอบคอบ ตรง $\frac{1}{420}$ แต่ตามไปแก้ไขให้แล้วครับ
2. (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) + .... + (1+2+3+4+.....+30) = 4959 ดังนี้ครับ
จากโจทย์เขียนในรูปทั่วไปได้ดังนี้
= $\frac{1}{2}$[(1+2)2 + (1+3)3 + (1+4)4 + (1+5)5 + .... + (1+30)30]
= $\frac{1}{2}$[2 + $2^2$ + 3 + $3^2$ + 4 + $4^2$ + ... + 30 + $30^2$]
= $\frac{1}{2}$[(1 + $2^2$ + $3^2$ + $4^2$ + ... + $30^2$) + (1 + 3 + 4 +5 + ... + 30)]
= $\frac{1}{2}$[$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ + $\frac{(n+1)n}{2}$ -2]
= $\frac{1}{2}$[$\frac{30(31)(61)}{6}$ + $\frac{31(30)}{2}$ -2]
= 4959
3. ต้องขอบคุณ คุณ Nongtum มาก ๆ เลยครับที่ใบ้ให้ เพราะสูตรผลรวมกำลังสอง และผลรวมกำลังสาม นั้นผมยังไม่เคยผ่านหูผ่านตาเลยครับ

[au]

ข้อ $ 6+24+60+120+210+.............+8120400=? $

ตอบ

412110300 ครับ

วีธีคิด

ความสัมพันธ์ ของ $ 6,24,60,120,210.......... ,8120400 $ =
$ \begin{array}{rcl}6 & = & 2^3-3 \\ 24 & = & 3^3-3 \\ 60 & = & 4^3-4 \\120 & = & 5^3-5 \\ 210 & = & 6^3-6 \\ \therefore\ 8120400 & = & 201^3-201 \end{array} $
จากข้างบน เขียนเป็นสมการได้ว่า
$ (2^3-2)+(3^3-3)+(4^3-4)+........+(201^3-201) $
$ =\big((2^3)+(3^3)+(4^3).....+(201^3)\big)-(2+3+4+5+6+.........+201) $
$$ =\left(\sum n^3\ -1\right)-\left(\sum n -1\right) $$
$$ =\sum n^3-1-\sum n+1 $$
$$ =\sum n^3-\sum n $$
จากสูตรของคุณ nongtum จะได้
$$ \left(\sum n\right)^2-\sum n $$
$$ =\sum n\left(\sum n-1\right) $$
แทน $ n\ = 201 $ ใน $$ \sum n\left(\sum n-1\right) $$
$$ \sum 201\left(\sum 201-1\right)=412110300 $$ คร๊าบบบบบ

[Mastermander]

6+24+60+120+210+...+8120400 = ?
1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 + ... + n(n+1)(n+2) +... + 200*201*202

$$ \sum_{n=1}^{200} n(n+1)(n+2)=\sum_{i=1}^{201}[i^3-i]-0 $$
$$ =\sum_{i=1}^{201}i^3-\sum_{i=1}^{201}i=\Big(\frac{201\cdot 202}{2}\Big)^2-(201)\frac{202}{2} $$
$$=412130601-20301=412 110 300$$

[Pheeradej]

1.สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด J ลาก JL ออกไปนอกวงกลมตัดวงกลมที่จุด D โดยที่ JD=DL ลาก LC ตั้งฉากกับ DL ลาก JC ตัดวงกลมที่จุด B แบ่งครึ่ง BC ที่จุด A ทำให้ BA=AC=JB ลาก CF สัมผัสวงกลมที่จุด E ลาก JF ทำให้มุม JCE เท่ากับมุม JFE ลาก FH สัมผัสวงกลมที่จุด G และทำให้ CLH เป็นเส้นตรงเดียวกัน ลาก JH,GL,JE,GE,DQ โดย JH ตัด GL และ DQ ที่จุด I และ R ตามลำดับ ทำให้มุม JIG เท่ากับมุม QRH ,FE=FG ,EJ แบ่งครึ่ง FC และ DQ ตั้งฉากกับ JL จงแสดงว่า ถ้า MDQ เป็นเส้นตรงเดียวกันแล้ว รูปดังกล่าวจะไม่มีทางเกิดขึ้น

[nongtum]

ข้อแรก หากคิดตรงๆจะได้ $2549!\approx 8.363\times10^{7577}$ (ค่าประมาณ) เป็นเลข 7578 หลัก
ข้อสอง หากคิดตรงๆจะได้ $\displaystyle\prod_{i=1}^{100}\sum_{j=1}^{i}j\approx6.936\times10^{287}$ (ค่าประมาณ) เป็นเลข 288 หลัก
ถามอะไรที่ต้องคำนวณกัน(ด้วยมือ)ซ้ำๆนานๆแบบนี้เดี๋ยวก็ไม่มีคนมาตอบพอดี (โจทย์ที่เป็นปัญหาถูกแก้ไปแล้ว)

ขอถามน้อง Pheeradej และน้องระดับประถมคนอื่นๆกลับบ้างละกันว่า 2549! มีศูนย์ต่อท้ายกี่ตัว ใบ้ให้ว่า 2x5=10

[Pheeradej]

ขอโทษครับ แก้โจทย์ใหม่ให้แล้ว แต่ดูเหมือนจะแก้ไม่ทันแล้วง่ะ
ผมขอทวนโจทย์ก่อนที่ผมจะแก้เป็นโจทย์เรขาคณิตให้เพื่อน ๆ ดูละกันครับ
1. 1*2*3*...*2549=?
2. 1*3*6*10*15*...*5050=?

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Pheeradej:
1.สร้างวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด J ลาก JL ออกไปนอกวงกลมตัดวงกลมที่จุด D โดยที่ JD=DL
ลาก LC ตั้งฉากกับ DL ลาก JC ตัดวงกลมที่จุด B แบ่งครึ่ง BC ที่จุด A ทำให้ BA=AC=JB
ลาก CF สัมผัสวงกลมที่จุด E ลาก JF ทำให้มุม JCE เท่ากับมุม JFE
ลาก FH สัมผัสวงกลมที่จุด G และทำให้ CLH เป็นเส้นตรงเดียวกัน
ลาก JH,GL,JE,GE,DQ โดย JH ตัด GL และ DQ ที่จุด I และ R ตามลำดับ
ทำให้มุม JIG เท่ากับมุม QRH, FE=FG ,EJ แบ่งครึ่ง FC และ DQ ตั้งฉากกับ JL
จงแสดงว่า ถ้า MDQ เป็นเส้นตรงเดียวกันแล้ว รูปดังกล่าวจะไม่มีทางเกิดขึ้น

จุด Q อยู่ที่ไหนครับ

[Pheeradej]

Q เป็นจุดบน FH ซึ่งสอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าวครับ

[Pheeradej]

คำตอบ คือ 634 ครับ คิดดังนี้
๋$\frac{2549}{5}$๛ = 509
๋$\frac{2549}{25}$๛ = 101
๋$\frac{2549}{125}$๛ = 20
๋$\frac{2549}{625}$๛ = 4
พอนำมาบวกกันทั้งหมดก็จะได้คำตอบครับ
หมายเหตุ ๋x๛ คือ จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x

[Pramote]

ขอตอบคำถามnongtumนะครับ ข้อที่ถามว่า2549! มี0กี่ตัว ขอตอบว่า634

วิธีทำคือ 2549! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x..............x2549

เค้ามีสูตรว่าตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5 + ตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5^2+ตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5^3 +ตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5^4 = 2549/5+2549/25+2549/125+2549/625(ได้แค่นี้เพราะต่อไปส่วนมากกว่าเศษฮะ) หลักการหารนี้คิดเฉพาะจำนวนเต็มนะครับ เศษปัดทิ้ง จะได้ 509+101+20+4 = 634

ปล.ถ้าถูกหรือคิดว่าเฉลยได้ดี กรุณาใส่ดาวให้ผมด้วย

ปล2.ผมชื่อเล่นว่าแจ๊บ ส่วนปราโมทย์เป็นชื่อพ่อฮะ อายุ50กว่าแล้ว แต่พยายามช่วยสอนผม

[Pramote]

ขอตอบคำถามnongtumนะครับ ข้อที่ถามว่า2549! มี0กี่ตัว ขอตอบว่า634

วิธีทำคือ 2549! = 1x2x3x4x5x6x7x8x9x..............x2549

เค้ามีสูตรว่าตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5 + ตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5^2+ตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5^3 +ตัวเลขสุดท้ายที่มี!/5^4 = 2549/5+2549/25+2549/125+2549/625(ได้แค่นี้เพราะต่อไปส่วนมากกว่าเศษฮะ) หลักการหารนี้คิดเฉพาะจำนวนเต็มนะครับ เศษปัดทิ้ง จะได้ 509+101+20+4 = 634

ปล.ถ้าถูกหรือคิดว่าเฉลยได้ดี กรุณาใส่ดาวให้ผมด้วย

ปล2.ผมชื่อเล่นว่าแจ๊บ ส่วนปราโมทย์เป็นชื่อพ่อฮะ อายุ50กว่าแล้ว แต่พยายามช่วยสอนผม

[nongtum]

งั้นขอถามนะครับว่าสูตรนี้มาได้อย่างไร ตัวเลขสุดท้ายที่มี ! คืออะไร ทำไมจึงคิดแบบนี้ ทำไมจึงทำได้เฉพาะจำนวนเต็ม(ทั้งบวกและลบ?) เพราะเวลาทำวิธีทำจริงตอบแบบนี้ คำตอบสุดท้ายถูกแต่อาจได้ไข่ต้มไปกินเพราะสื่อแนวคิดให้คนอื่นไม่รู้เรื่อง แต่ขอชมในความพยายามครับ

หากมีเวลาคราวนี้ลองฝึกการเขียนเรียบเรียงแนวคิดดูนะครับ และหากไม่เหนือบ่ากว่าแรงก็ฝึกใช้ UBB Code และ TeX ดูนะครับ เพราะเชื่อว่าแค่ทดเอาคำตอบน้องทำได้ดีอยู่แล้ว (อย่างน้อยก็ดีกว่าตอนที่พี่อยู่ป.6 ละน่า) ส่วนเรื่องดาวอย่าเอาจริงเอาจังกับมันมาก ยิ่งมีเยอะไม่ได้แปลว่ายิ่งเก่งหรอกครับ เรามาเล่นหลักๆเพื่อฝึกฝนเพิ่มพูนประสบการณ์และเพื่อความสนุกนะครับ