รวมโจทย์ภาคสอง

[Platootod]

1.จงหา $x,y$ที่สอดคล้องกับสมการ $x^2+y^2-2x+4y=0 และ x^2+y^2+xy+3y=4$
2.จงหาค่า $a,b$ ที่สอดคล้องกับสมการ $\sqrt[3]{a+\sqrt{b} }+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}$เนื่องจาก a และ b มีมากมายหลายจำนวนดังนั้นจงยกตัวอย่าง a และ b มาหนึ่งตัวอย่าง
3.ผลบวกของรากของสมการ$(\sqrt{9+\sqrt{80}})^x+(\sqrt{9-\sqrt{80}})^x=18$
4.จงหาจำนวนจริง $p,q$ที่มีทำให้พหุนาม $x^3+px^2-13x-15$ และ $x^3+qx^2-7x-10$
มีรากซ้ำกันสองราก
5.x เป็นจำนวนจริงที่ทำให้ $x^3+4x=8$ จงหาค่าของ $x^7+64x^2$
6.$f(x)=\frac{2009x+2552}{2552x+2009}$ จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ
$f(f(...f(x)))$ มี $f$ อยู่ 2009 ตัว

[LightLucifer]

ข้อแรกนี่ (2,0) หรือป่าวครับ
ปล.ข้อสองสงสัยโจทย์ไม่ครบ

[Ne[S]zA]

$(x,y)=(0,-4)$ ก็ได้นิครับ
ปล.มันน่าจะมีมากกว่านี้นะ??

[Ne[S]zA]

ผมหาได้ $4$ คู่นะ (อาจจะมีอีก)
$x^2+y^2-2x+4y=0$_______(1)
$x^2+y^2+xy+3y=0$_______(2)
(2)-(1); $xy+2x-y=4$
-2 ทั้ง 2 ข้าง; $xy+2x-y-2=2$
$(y+2)(x-1)=2$
$2=1\times 2=2\times 1 =-1\times -2 =-2\times -1$
$x-1=2$______$x=3$
$y+2=1$______$y=-1$
$x-1=1$______$x=2$
$y+2=2$______$y=0$
$x-1=-2$_____$x=-1$
$y+2=-1$_____$y=-3$
$x-1=-1$_____$x=0$
$y+2=-2$_____$y=-4$
$\therefore (x,y)=(3,-1),(2,0),(-1,-3),(0,-4)$
ปล.คำตอบอาจจะมีอีกนะครับ

[ราชาสมการ]

ข้อสามตอบ 2 ใช่ไหมครับ
ส่วนข้อสองผมว่าโจทย์ไม่ครบครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ราชาสมการ

ข้อสามตอบ 2 ใช่ไหมครับ
ส่วนข้อสองผมว่าโจทย์ไม่ครบครับ

น่าจะถูกแล้วล่ะครับ
วิธีทำ
ให้ $A=\sqrt{9+\sqrt{80}}$ และ $B=\sqrt{9-\sqrt{80}}$
จากโจทย์ได้ $A^x+B^x=18$
สมมติ $(A+B)^2=9+\sqrt{80}+2\sqrt{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}+9-\sqrt{80}$
$(A+B)^2=20$
$A^2+2AB+B^2=20$
$A^2+B^2=18$ เพราะ $AB=\sqrt{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}=1$
เพราะฉะนั้นเอาโจทย์เทียบกับสิ่งที่ได้ $A^x+B^x=18$ เทียบกับ $A^2+B^2=18$
$\therefore x=2$

[Platootod]

ผลรวมไม่เท่ากับสองแต่เท่ากับศูนย์คับ
ข้อที่ว่าโจทย์ไม่ครบมันมีต่อว่าเนื่องจาก a และ b มีมากมายหลายจำนวนจงยกตัวอย่างค่า a,b ที่สอดคล้องมาหนึ่งตัวอย่าง

[Ne[S]zA]

ส่วนข้อ2)สมการต้องมีเครื่องหมายเท่ากับนะครับ
ถ้าให้ยกตัวอย่างมา 1 ตัวอย่างแล้วจะให้ $\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}+\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}$ เท่ากับเท่าไหร่อะครับ

[Ne[S]zA]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ผลรวมไม่เท่ากับสองแต่เท่ากับศูนย์คับ

อีกคำตอบคือ $-2$ ใช่ไหมครับ
$(\sqrt{9+\sqrt{80}})^{-2}+(\sqrt{9-\sqrt{80}})^{-2})=18$
$\frac{1}{9+\sqrt{80}}+\frac{1}{9-\sqrt{80}}=18$
$18=18$
$\therefore $ ผลรวมคำตอบคือ $0$

[Platootod]

ข้อสองสองห้าห้าสองคับ
2552

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Platootod

ข้อสองสองห้าห้าสองคับ
2552

มันเป็นสมการตรงไนอ่าครับหรือว่า
$\sqrt[3]{a+\sqrt{b} }+\sqrt[3]{a-\sqrt{b} }=2552$

[Siwaput]

ขอแบบขำๆครับข้อหนึ่งนะคับ
จัดรูปใหม่จะได้
$X^2-2x+(y^2+4y)=0$
$X^2+y(x)+(y^2+3y-4)=0$
แล้วนำมาเขียนในรูปเมตริกซ์
$$
\vmatrix{
1&-2&y^2+4y&0&\\
0&1&-2&y^2+4y\\
1&y&y^2+3y-4&0\\
0&1&y&y^2+3y-4\\}=0
$$
ใช้โคแฟกเตอร์จะได้
$det(A)=a_{11}c_{11}(A)+a_{31}c_{11}(A)$
$a_{11}c_{11}(A)=(y^2+3y-4)+0+y^2(y^2+4y)-[(y^2+4y)(y^2+3y-4)+(-2y)(y^2+3y-4)$
$ a_{31}c_{11}(A)=((4)(y^2+3y-4)+(y^2+4y)^2)-[-2y(y^2+4y)+(y^2+3y-4)(y^2+4y)]$
$det(a)= ((4)(y^2+3y-4)+(y^2+4y)^2)-[-2y(y^2+4y)+(y^2+3y-4)(y^2+4y)]
+(y^2+3y-4)+0+y^2(y^2+4y)-[(y^2+4y)(y^2+3y-4)+(-2y)(y^2+3y-4)$
เนื่องจาก det(A)=0 ดังนั้น
$0= ((4)(y^2+3y-4)+(y^2+4y)^2)-[-2y(y^2+4y)+(y^2+3y-4)(y^2+4y)]
+(y^2+3y-4)+0+y^2(y^2+4y)-[(y^2+4y)(y^2+3y-4)+(-2y)(y^2+3y-4)$
ถอดสมการหาค่า y
สรุปวิธีนี้ในทางปฏิบัติใช้ไม่ได้แม้ซักนิดเห็นได้จากเครื่องหมายปากเบี้ยว$= (($

[Scylla_Shadow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

...$\sqrt[3]{a+\sqrt{b} }+\sqrt[3]{a-\sqrt{b} }=2552$

ถ้าโจทย์เป็นอย่างนี้จริง ผมให้ $x=\sqrt[3]{a+\sqrt{b}}$ และ $y=\sqrt[3]{a-\sqrt{b}}$

จะได้ว่า x+y = 2552...............(1)

เพื่อความสะดวก ให้ xy = 1 ซึ่งจะได้ $a^2-b=1$...(2)

และ $x^3+y^3=2a$

$(x+y)((x+y)^2-3xy)=2a$

$2552(2552^2-3)=2a$

$a=1276(2552^2-3)$

จาก (2) จะได้ $b =(1276(2552^2-3))^2-1$

คำตอบข้ออื่นๆ ก็ลองหาในห้องสอวนรอบพิเศษ
ข้อสอบประกายกุหลาบ และข้อสอบสอวนดูครับ

[Siwaput]

คุณ ซิลล่ายังเทพเหมือนเดิมนะคับเนี่ย