My Theorem(agian!)

[The jumpers]

$x+y+z=a$
$xy+yz+zx=b$
$xyz=c$
ตอบ
$x=\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c+\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c-\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}-\frac{a}{3}$
$y=\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c+\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega +\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c-\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega -\frac{a}{3}$
$z=\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c+\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega ^2+\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c-\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega ^2-\frac{a}{3}$
เมื่อ $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$(เขางอกอีกแล้วครับ!!!)

[Anonymous314]

มันก็คือรากสมการ
$\alpha ^3 - a\alpha ^2 + b\alpha - c = 0$ แหละครับ

[The jumpers]

ใช่เลยครับ เเต่ทำให้มันเท่ๆหน่อยครับ...

[M@gpie]

รู้สึกว่าจะเท่ห์แต่กินไม่ได้นะครับ เนี่ย

[owlpenguin]

ไม่ทำของกำลังสี่ด้วยเหรอครับ

[The jumpers]

เดี่ยวตายครับ อิอิ...

[TOP]

บอกว่าเป็น My Theorem แสดงว่าคิดได้เอง พร้อมมีวิธีพิสูจน์ของตนเองแล้วใช่ไหมครับ

[[FC]_Inuyasha]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Anonymous314

มันก็คือรากสมการ
$\alpha ^3 - a\alpha ^2 + b\alpha - c = 0$ แหละครับ

สูตรนี้อยู่ในเรื่องอะไรเหรอครับ

[owlpenguin]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ The jumpers

$x+y+z=a$
$xy+yz+zx=b$
$xyz=c$
ตอบ
$x=\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c+\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c-\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}-\frac{a}{3}$
$y=\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c+\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega +\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c-\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega -\frac{a}{3}$
$z=\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c+\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega ^2+\sqrt[3]{\frac{\frac{2a^3}{27}-\frac{ab}{3}+c-\sqrt{c^2-\frac{a^2b^2}{3}+\frac{4a^3c}{27}-\frac{2abc}{3}+\frac{4b^3}{27}}}{2}}\omega ^2-\frac{a}{3}$
เมื่อ $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$(เขางอกอีกแล้วครับ!!!)

มีคำถามเล็กน้อยครับ
มันมีโอกาสที่ส่วนที่อยู่ใน $\sqrt{\cdots}$ ติดลบ (นั่นคือ $\sqrt{\cdots}$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน)หรือไม่ครับ เพราะถ้ามี มันจะได้ค่า $x,y,z$ มากกว่า $1$ คู่

[The jumpers]

ใช้ทบ.คาร์ดานครับ(ค่าย2สอวน.เรื่องจำนวนเชิงซ้อนครับ)
$\because$ มาจากสมการ $\alpha^3-a\alpha^2+b\alpha-c=0$ ซึ่งเป็นสมการดีกรี3
นั่นคือจะมีรากไม่เกิน3ราก
จะได้ว่า $x,y,z$ มีเพียงค่าเดียวเเต่สามารถวนไปวนมาได้ครับ

[dektep]

$Am-Gm$ ใช้ได้กับ $R^+$ ไม่ใช่เหรอครับ

[The jumpers]

อ้อ... ลืมครับ

[nooonuii]

แน่ใจนะครับว่าจะจำสูตรนี้ไว้ทำโจทย์

[The jumpers]

คงไม่หรอกครับ เพราะโจทย์ในเเนวนี้ส่วนใหญ่เขาให้เเสดงวิธีทำกันครับ

[M@gpie]

แล้วการพิสูจน์ของน้อง The Jumpers ใช้วิธีอะไรครับ ที่เรียกว่า My Theorem