Hojoo ง่ายๆ ข้อนึงครับ

[Beatmania]

ถ้า x y เป็นจำนวนเต็มบวกที่หลักหน่วยของ $x^2+xy+y^2$ เป็น 0

จงแสดงว่า ทั้ง x และ y ต่างก็ลงท้ายด้วย 0

วิธีของผมก็เรียบง่ายครับ เช็ค mod 2 กับ mod 5 ถึกนิดๆหน่อยๆ

ไม่ทราบว่าเหล่าเทพๆ ในบอร์ดนี้มีวิธีอื่นอีกหรือเปล่าครับ

[Thgx0312555]

$10|x^2+xy+y^2$
$10|x^3-y^3$ ---(1)

สมมติ f(a) เป็นหลักหน่วยของ $n^3$, เมื่ิอ $n\equiv amod 10, 0\leqslant a\leqslant 9$

แทนค่า a = 0,1,...,9 จะได้ f(a) มีค่าไม่ซ้ำและมีได้ค่าเดียว นั่นคือ f(a) เป็น f:1-1 ---(2)

สมมติ $x\equiv a_x mod 10, 0\leqslant a_x\leqslant 9$
$y\equiv a_y mod 10, 0\leqslant a_y\leqslant 9$

(1); $f(a_x)-f(a_y)=0$
$f(a_x)=f(a_y)$

(2); $a_x=a_y$
$\therefore 10|x-y$

พิจารณา $10|x^2+xy+y^2$ คงแก้ได้ง่ายๆครับ

[poper]

ไม่ถนัด $mod$ เท่าไหร่ ทำแบบนี้ได้มั้ยครับ
(i) $x=y$
$x^2+xy+y^2=3x^2=10k$ เมื่อ $k$ เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น $10|x$ และ $10|y$
(ii) $x\not=y$
(1) ให้ $y=x+10a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนเต็มบวก
$x^2+xy+y^2=3x^2+10(10a^2+3ax)=10k$ ดังนั้น $10|x$ และ $10|y$
(2) ให้ $y=x+a$ $\ \ 1\leqslant a\leqslant 9$
$x^2+xy+y^2=3x^2+3ax+a^2=3x(x+a)+a^2=3xy+a^2=10k$
แต่ $10\nmid a^2$ จึงไม่เป็นจริง
จาก (i) และ(ii)
$x$ และ $y$ ต้องลงท้ายด้วย $0$

[Beatmania]

ขอขอบคุณพี่ๆมากครับ